1G - C1 - Calculs algébriques et Logique
Résoudre les équations suivantes :
$2 - 3x = 8x - 20$
$7x - 2 - 4x = 3 - 3x - 8$
$7x - 8 = 9x + 4$
$5x -3 -7x +1 = -2x - 2$
$\dfrac{x}{2} - 1 = \dfrac{5x}{3} - \dfrac{1}{6}$
$4x - 8 = 10x + 7$
$5x -3 -7x +1 = 1 -2x - 2$
$3x +2 = -6x -19$
$-x -7 +2x = -1 +x +9$
$10x -7 = 4x -21$
$-x -5 +3x = -8 +2x +3$
$4x - 9 + 4x = 8x - 18 + 9$
Développer les expressions suivantes :
$A = (2x+4)^2 - (4-x)^2$
$B = (-3x-5)^2-(x+3)(3-x)$
$C = (-x+4)^2 - (-2-2x)^2$
$D = (2x-5)^2-(3x+4)(4-3x)$
$E = -2(2x-1)^2 - 3(x+1)^2$
$F = 2(-x-5)^2-(-10-x)(10-x)$
$G = -3(x-1)^2 - 4(2-x)^2$
$H = 2(-x+2)^2-(-3-x)(3-x)$
$I = -4(-x + 1)^2 -(-2x-1)(1-2x)$
$J = -2(2-x)^2 -3(-3x-2)^2$
$K = \Big(\dfrac{x}{4} - \sqrt{5}\Big)^2 - \Big(\sqrt{80} + \dfrac{x}{2} \Big)^2$
$L = \Big(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}x + \sqrt{75}\Big)^2$
Résoudre les inéquations suivantes :
$5x + 6 \geqslant -9 + 10x$
$x - 1 > 8x - 9$
$3 - 2x \leqslant 8$
$10x - 6 < 4 - 8x$
$\dfrac{x}{5} - 0.1 \geqslant \dfrac{5x}{2} - 1$
$-5x + 6 \geqslant -9 + 5x$
$x +9 \leqslant -1 + 6x$
$2x +7 \leqslant -1 + 6x$
$-15x - 3 \geqslant 8 -3x$
Soit $A = 4x^2 + 4 + 8x$. Factoriser $A$ par $-2$ ; $2x$ ; $x^2$ puis par une identité remarquable.
Factoriser $B = -30x + 25 + 9x^2$ par $-5$ ; $x$ ; $3x^2$ puis par une identité remarquable.
Soit $C = 81 - 100x^2$. Factoriser $C$ par $100$ ; $10x^2$ ; $x^3$ puis par une identité remarquable.
Factoriser $C = 25x^2 + 9 + 30x$ par $-3$ ; $5x$ ; $3x^2$ puis par une identité remarquable.
Factoriser $D = -14x + 49 + x^2$ par $-7$ ; $3x^2$ ; $-x^3$ puis par une identité remarquable.
Soit $E = 16 - 16x^2$. Factoriser $E$ par $-4$ ; $4x^2$ ; $-8x^3$ puis par une identité remarquable.
Soit $f_1 : x \mapsto \dfrac{5x-7}{(6x-5)(-7+9x)} $. Déterminer l'ensemble de définition $\mathcal{D}_{f_1}$ de la fonction $f_1$.
Soit $f_2(x) = \sqrt{-4x+8} $.
Déterminer l'ensemble de définition $\mathcal{D}_{f_2}$ de la fonction $f_2$.
Soit $f_3 : x \mapsto \sqrt{2+x^2} $.
Déterminer l'ensemble de définition $\mathcal{D}_{f_3}$ de la fonction $f_3$. Justifier précisément.
Soit $f_4 : x \mapsto \dfrac{1}{\sqrt{1-x}} $.
Déterminer l'ensemble de définition $\mathcal{D}_{f_4}$ de la fonction $f_4$.
Soit $f_5(x) = \dfrac{1}{\sqrt{x^2-3}} $. Déterminer l'ensemble de définition $\mathcal{D}_{f_5}$ de la fonction $f_5$.
Calculer et simplifier :
$A = \Big| 8 \times 9 \div (-3) + (4-8)\times (9-6) \Big|$
$B = \Big| 8 \times 9 \div (-3) + (4-8)\times (9-6) \Big|$
Résoudre les équations suivantes :
$2 - 3x = 8x - 20$
$x - 2 - 4x = 3 - 3x - 8$
$7x - 8 = 9x + 4$
$3x -3 -7x +1 = -4x - 2$
$\dfrac{x}{2} - 1 = \dfrac{5x}{3} - \dfrac{1}{9}$
Résoudre les inéquations suivantes :
$x + 6 \geqslant -9 + 6x$
$2x - 1 > 9x - 9$
$3 - 3x \leqslant 8$
$8x - 6 < 4 - 8x$
$\dfrac{x}{5} - 0.2 \geqslant \dfrac{3x}{2} - 2$
Soit $A = x^2 + 1 - 2x$. Factoriser $A$ par $-2$ ; $x$ ; $x^2$ puis par une identité remarquable.
Factoriser $B = 24x + 16 + 9x^2$ par $-4$ ; $3x$ ; $6x^2$ puis par une identité remarquable.
Soit $C = 49 - 49x^2$. Factoriser $C$ par $7$ ; $7x^2$ ; $49x^3$ puis par une identité remarquable.
Résoudre :
$-3y +4 = -3(y-2)$
$3(5-4x) = 6(-2x + 1)$
$x^2 - 5x + 8 = (3-x)^2$
$2x -1 \geqslant -15 + 6x$
$10x - 5 > 9x - 18$
$(3-2x)^2 \leqslant (2x+1)^2$
Soit $A = 4x^2 + 1 + 4x$. Factoriser $A$ par $2$ ; $-2x$ ; $4x^2$ puis par une identité remarquable.
Factoriser $B = 25x^2 - 40x + 16$ par $-5$ ; $-10x$ ; $2x^2$ puis par une identité remarquable.
Soit $C = x^2 - 3$. Factoriser $C$ par $3$ ; $3x^2$ ; $x^3$ puis par une identité remarquable.
Résoudre :
$4(x - 2) = -4(x + 5)$
$-5y + 20 = -5(y-4)$
$-2(1-6x) = 4(3x - 5)$
$4x^2 - 4x + 8 = (3-2x)^2$
$2x -15 \geqslant -15 + 7x$
$5(2x - 1) > 2(5x - 5)$
$(1-7x)^2 \leqslant (7x+8)^2$
$(-3x -5)^2 \leqslant (3x-2)(3x+2)$
On considère le nombre $B(n)$ pour $n \in \N$ défini par : $ B(n) = \dfrac{(9^{n} - 9^{n-1})^3}{(27^{n+1} + 27^{n})^2}$ @vs10 Démontrer que $B(n)$ ne dépend pas de $n$.
On considère le nombre $B(n)$ pour $n \in \N$ défini par : $ B(n) = \dfrac{(8^{n+1} + 8^n)^2}{(4^n - 4^{n-1})^3}$ @vs10 Démontrer que $B(n)$ ne dépend pas de $n$.
Simplifier l'expression $A = (-5-2x)^2 - (x-4)(4+x)$
Développer et réduire $A = (-2x+1)^2 - (-3-3x)^2$
Développer et réduire $B = (4x-6)^2-(5x+2)(2-5x)$
Résoudre l'équation $2(-2x + 9) = -2(5+2x)$
Résoudre l'équation $-3(1-4x) = 6(2x - 2)$
Résoudre l'inéquation $-9x + 8 \geqslant -6 - 5x$
Résoudre les inéquations suivantes :
$ -3 -3x^2 < 6x$
$2x^2 > 4x + 6$
$4 + 3x - x^2 \geqslant -2x^2 + x $
Écrire une négation pour chacune des propositions suivantes.
Toutes les voitures rapides sont rouges.
Tout triangle rectangle possède un angle droit.
Il existe un mouton écossais dont au moins un côté est noir.
Dans toutes les prisons tous les détenus détestent tous les gardiens.
$a$ désigne un nombre réel. Écrire une négation pour chacune des propositions suivantes.
$a > 5$
$a \geqslant -4$
$a \leqslant -2$ ou $a > 3$
$a < 5$ et $a \geqslant -1$
Indiquer si chaque proposition est vraie ou fausse. Justifier.
Tous les multiples de $3$ sont des multiples de $9$
Tous les diviseurs de $12$ sont des divisieurs de $36$.
Le carré de la somme de deux nombres est égal à la somme des carrés des deux nombres.
Un carré est un rectangle.
Pour tout réel $x$ tel que $x^2 > 4$ alors $x > 2$.
Il existe une puissance de $2$ qui s'écrit avec un $7$ comme chiffre de gauche.
Il existe une puissance de $7$ qui admet $2017$ comme derniers chiffres de droite.
Il existe une puissance de $113$ qui admet $2017$ comme derniers chiffres de droite.
$(4+\sqrt{17})^2 = 18957314$
Pour chacune des propositions ci-dessous, dire si cette proposition est vraie ou fausse, sil elle est vraie énoncer la contraposée. Énoncer la proposition réciproque et dire si elle est vraie ou fausse. Enfin, indiquer dans quel cas on a une équivalence.
Si je suis autrichien alors je suis européen.
Si $x^2 = 4$ alors $x = 2$
Si $ab=0$ alors $a=0$ ou $b=0$
Si $ABCD$ est un losange alors $ABCD$ est un parallélogramme.
Si deux droites sont perpendiculaires alors elles sont sécantes.
Si $ABC$ est un triangle équilatéral alors $ABC$ est un triangle isocèle.
On considère $A = \sqrt{11-6\sqrt{2}}$. L'objectif est de simplifier $A$ sans utiliser la calculatrice.
Démontrer que le nombre $A$ est bien défini.
Déterminer deux réels $a$ et $b$ tels que $11-6\sqrt{2} = (a-b)^2$
En déduire la simplication de $A$.
On considère $B = \sqrt{\sqrt{900} + \sqrt{500}}$. L'objectif est de simplifier $B$ sans utiliser la calculatrice.
Démontrer que le nombre $B$ est bien défini.
Déterminer deux réels $a$ et $b$ tels que $\sqrt{900} + \sqrt{500} = (a+b)^2$
En déduire la simplication de $B$.
On considère le réel $x \in \R^{*}$ tel que $x + \dfrac{1}{x} = 3$. L'objectif est de calculer $x^3 + \dfrac{1}{x^3}$
Démontrer que $\Big( x + \dfrac{1}{x}\Big)^3 = x^3 + \dfrac{1}{x^3} + 9$.
En déduire la valeur de $x^3 + \dfrac{1}{x^3}$
On considère le réel $x \in \R^{*}$ tel que $x + \dfrac{1}{x} = 5$. L'objectif est de calculer $x^4 + \dfrac{1}{x^4}$
Démontrer que $x^2 + \dfrac{1}{x^2} = 24$.
Démontrer que $\Big( x + \dfrac{1}{x}\Big)^4 = x^4 + \dfrac{1}{x^4} + 112$.
En déduire la valeur de $x^4 + \dfrac{1}{x^4}$
Résoudre les équations suivantes :
$-x -7 +2x = -1 +x +9$
$10x -7 = 4x -21$
$-x -5 +3x = -8 -2x +3$
$4x - 9 + 4x = 8x - 18 + 9$
Développer les expressions suivantes :
$A = -4(-x + 1)^2 -(-2x-1)(1-2x)$
$B = -2(2-x)^2 -3(-3x-2)^2$
$C = \Big(\dfrac{x}{4} - \sqrt{5}\Big)^2 - \Big(\sqrt{80} + \dfrac{x}{2} \Big)^2$
$D = \Big(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}x + \sqrt{75}\Big)^2$
Développer les expressions suivantes :
$A = (-4x + \sqrt{2})^2 -(-2x-\sqrt{8})^2$
$B = -5(1-x)^2 -3(-3-4x)(-4x+3)$
Pour la proposition suivante : si $x^2 - 4x = 0$ alors $x=0$ ou $x=4$. @vs5 Écrire cette proposition, sa contraposée, sa réciproque et sa contraposée de la réciproque et indiquer si elles sont vraies ou fausses. Enfin, indiquer s'il y a équivalence. Dans le cas d'une équivalence, *{tdu;bold::la démontrer}.