1G - F1 - Dérivation
On considère la fonction $f$ définie par $x \mapsto f(x) = 5 - 2x$. Déterminer le nombre dérivé de $f$ en $-3$.
On considère la fonction $f$ définie par $x \mapsto f(x) = x - 9$. Déterminer le nombre dérivé de $f$ en $-3$.
On considère la fonction $g$ définie par $x \mapsto g(x) = 1 + x - x^2$ de courbre représentative $\mathcal{C}_g$. Déterminer l'équation de la tangente à $\mathcal{C}_g$ en $5$.
On considère la fonction $m$ définie par $x \mapsto m(x) = 3x + 5 + 2x^2$ de courbre représentative $\mathcal{C}_m$. Déterminer l'équation de la tangente à $\mathcal{C}_m$ en $-1$.
On considère la fonction $f$ définie par $f : x \mapsto -2x^2+20x -18$ de représentation graphique $\mathcal{C}_f$.
Dresser le tableau de variation de $f$ et donner son extremum.
Résoudre $f(x) = 0$.
Résoudre $f(x) \geqslant 0$.
Dans un repère, tracer la représentation graphique $\mathcal{C}_f$ de $f$. Justifier.
Calculer $f'(2)$.
Déterminer l'équation de la tangente $(T_{2})$ en $2$. La tracer dans le repère précédent. Justifier
Calculer $f'(6)$.
Déterminer l'équation de la tangente $(T_{6})$ en $6$. La tracer dans le repère précédent. Justifier.
Démontrer que $(T_{2})$ et $(T_{6})$ sont sécantes.
Déterminer les coordonnées du point d'intersection de $(T_{2})$ et $(T_{6})$.
On considère la fonction $f: x \mapsto 2x^2 - 5x + 2$. Soit $a$ un réel.
Déterminer son ensemble de définition. Justifier.
Calculer (simplifier au maximum) le taux d'accroissement, $m_f(a)$, de $f$ en $a$.
Démontrer que $f$ est dérivable en $a$ puis déterminer $f'(a)$.
Déterminer la fonction dérivée de $f$.
On considère deux fonctions $f: x \mapsto f(x)$ et $g : x \mapsto g(x)$ toutes les deux définies sur le même intervalle ($\mathcal{D}_f = \mathcal{D}_g$) et toutes les deux dérivables sur le même intervalle ($\mathcal{D}_{f'}= \mathcal{D}_{g'}$) @vs5 On considère la fonction $k : x \mapsto a\times f(x) + b \times g(x)$ avec $a$ et $b$ deux paramètres réels. @vs5 Démontrer que : $k'(x) = a\times f'(x) + b \times g'(x)$ @vs10 Remarque : Il faut utiliser des taux d'accroissement.
On considère la fonction $f$ définie par $f(x) = \sqrt{4 - x^2}$. @vs10 *{bold::Toutes les réponses doivent être justifiées avec précision.}
Déterminer l'ensemble de définition $\mathcal{D}_f$ de la fonction $f$.
Résoudre $f(x) = 0$.
Soient $a$ et $b$ deux réels appartenant à $\mathcal{D}_f$. Démontrer que $f(a) - f(b) = \dfrac{(b-a)(b+a)}{\sqrt{4-a^2}+ \sqrt{4-b^2}}$
Déterminer les variations de $f$ sur $\mathcal{D}_f \cap [0;+\infty[$
Déterminer les variations de $f$ sur $\mathcal{D}_f \cap ]-\infty;0]$
En déduire des questions précédentes le tableau de variation de $f$.
Démontrer que $f$ possède un extremum. Préciser ses caractéristiques.
Dans un repère orthonormé, tracer la représentation graphique $\mathcal{C}_f$ de la fonction $f$.
Déterminer l'équation de la tangente $T_{-1}$ à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $-1$ puis la tracer. Justifier.
Déterminer l'équation de la tangente $T_{1}$ à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $1$ puis la tracer. Justifier.
Démontrer que $T_{-1}$ et $T_{1}$ sont sécantes. Déterminer le point d'intersection de ces deux tangentes.
Soient $\vecteur{u}$ un vecteur directeur de $T_{-1}$ et $\vecteur{v}$ un vecteur directeur de $T_{1}$. Calculer $\vecteur{u} \cdot \vecteur{v}$
Soit $\vecteur{n}$ un vecteur tel que $\vecteur{u} \perp \vecteur{n}$. Déterminer les coordonnées de $\vecteur{n}$.
On considère la fonction $f: x \mapsto \dfrac{-5}{2x-2}$. Soit $a$ un réel tel que $a \; \cancel{=} \; 1$.
Déterminer son ensemble de définition. Justifier.
Calculer (simplifier au maximum) le taux d'accroissement, $m_f(a)$, de $f$ en $a$.
Démontrer que $f$ est dérivable en $a$ puis déterminer $f'(a)$.
Déterminer la fonction dérivée de $f$.
En utilisant la formule du produit, déterminer (et simplifier) la dérivée de la fonction $f$ définie par $x \mapsto f(x) = (x+1)e^{3x-1}$.
En utilisant la formule du produit, déterminer (et simplifier) la dérivée de la fonction $g$ définie par $x \mapsto g(x) = (x^2-1)(8 - x)$.
En utilisant la formule du produit, déterminer (et simplifier) la dérivée de la fonction $g$ définie par $x \mapsto g(x) = x^6\times \sqrt{x}$.
On considère la fonction $f$ définie par $f : x \mapsto \dfrac{1}{2x - 4}$ de représentation graphique $\mathcal{C}_f$.
Déterminer l'ensemble de définition $\mathcal{D}_f$ de $f$.
Démontrer que le taux d'accroissement $m_x$ de $f$ en $x$ (avec $x\in \mathcal{D}_f$) est : @vs5 $m_x = \dfrac{-2}{\Big(2(x+h)-4\Big)\Big(2x-4\Big)}$
En déduire l'expression algébrique de la fonction dérivée $f'$ de la fonction $f$.
Déterminer l'ensemble de dérivabilité de la fonction $f$. Expliquer.
Démontrer que la tangente $(T_1)$ en $1$ a pour équation : @vs5 $(T_1) : y = -\dfrac{1}{2}(x-1) - \dfrac{1}{2}$
Déterminer l'équation de la tangente $(T_3)$ en $3$.
Démontrer que $(T_3) // (T_1)$.
En s'aidant de la calculatrice, tracer, dans un repère, la représentation graphique $\mathcal{C}_f$ de $f$, $(T_3)$ et $(T_1)$.
On considère la fonction $f$ définie par $x \mapsto f(x) = x^2 + bx + c$ (avec $a = 1$) de forme factorisée $(x-x_1)(x-x_2)$. Démontrer que $f'(x_1) = -\sqrt{\Delta}$.
On considère la fonction $f$ définie par $x \mapsto f(x) = ax^2 + bx + c$ (avec $a \not= 0$) de forme canonique $a(x-\alpha)^2+\beta$. Démontrer que $f'(\alpha) = 0$.
Déterminer la dérivée des fonctions suivantes (simplifier num{1}, num{2}, num{3} et num{4}) :
$\dfrac{7x-3}{3-4x}$
$(8-3x)(5 - 3x)$
$\dfrac{2-3x - x^2}{x^2-5x +1}$
$\sqrt{4x - 2x^2- 1}$
$\Big(2x-4\sqrt{x} - \dfrac{\pi}{x}\Big)(6 - x)$
$(x^6- 3x^5 - 8x^8)^3$
On considère la fonction $f$ définie par $f : x \mapsto -8+x^2+2x$ de représentation graphique $\mathcal{C}_f$.
Dresser le tableau de variation de $f$ et donner son extremum.
Résoudre $f(x) = 0$.
Résoudre $f(x) \geqslant 0$.
Dans un repère, tracer la représentation graphique $\mathcal{C}_f$ de $f$. Justifier.
Démontrer que $f'(2) = 6$.
Déterminer l'équation de la tangente $(T_{2})$ en $2$. La tracer dans le repère précédent. Justifier
Calculer $f'(-2)$.
Déterminer l'équation de la tangente $(T_{-2})$ en $-2$. La tracer dans le repère précédent. Justifier.
Démontrer que $(T_{2})$ et $(T_{-2})$ sont sécantes.
Déterminer les coordonnées du point d'intersection de $(T_{2})$ et $(T_{-2})$.
Déterminer l'ensemble de définition, l'ensemble de dérivabilité et la fonction dérivée de $f : x \mapsto \dfrac{x^2 + 2}{x^2-2}$
Déterminer l'ensemble de définition, l'ensemble de dérivabilité puis la fonction dérivée de $f : x \mapsto \dfrac{x + x^2 - 5}{x^2 + 2x -3}$
On considère la fonction $g$ définie par $g : x \mapsto -3x^2+30x -27$ de représentation graphique $\mathcal{C}_g$.
Dresser le tableau de variation de $g$ et donner son extremum. Justifier.
Résoudre $g(x) = 0$.
Résoudre $g(x) \geqslant 0$.
Dans un repère adapté, tracer la représentation graphique $\mathcal{C}_g$ de $g$. Justifier.
Calculer $g'(2)$ et $g'(6)$.
Déterminer l'équation de la tangente $(T_{2})$ en $2$. La tracer dans le repère précédent. Justifier
Déterminer l'équation de la tangente $(T_{6})$ en $6$. La tracer dans le repère précédent. Justifier.
Démontrer que $(T_{2})$ et $(T_{6})$ sont sécantes.
Déterminer les coordonnées du point d'intersection de $(T_{2})$ et $(T_{6})$.
Exercice n°2
Pour chacun des cas, déterminer l'ensemble de définition et de dérivabilité de la fonction $f$ puis déterminer sa fonction dérivée :
$f: x \mapsto 3x - 5x^2 +7 - \dfrac{2}{3-9x} + 8\sqrt{x}$
$f: x \mapsto \dfrac{5x + 2 }{7 + 5x} - 7x^2 + 8 - 2\sqrt{x}$
$f: x \mapsto \dfrac{7x -8}{12-3x} -9x +7 $
On considère la fonction $f$ définie par $f: x \mapsto \dfrac{5+3x}{8-4x}$. @vs5 Déterminer l'ensemble de définition et de dérivabilité de la fonction $f$ puis déterminer sa fonction dérivée *{bold::de deux manières différentes} : @vs5 --1 En utilisant la dérivée de $x \mapsto \dfrac{1}{mx+p}$ @vs5 --2 En utilisant la formule du produit.
On considère la fonction $f$ définie par $f: x \mapsto \dfrac{\;\;\;\;\;\; 2+\dfrac{5}{6}x \;\;\;\;\;\;}{1-\dfrac{5}{3}x}$. @vs5 Déterminer l'ensemble de définition et de dérivabilité de la fonction $f$ puis déterminer sa fonction dérivée *{bold::de deux manières différentes}.
On considère la fonction $f$ définie par $f: x \mapsto \dfrac{4+3x}{1-5x}$. @vs5 Déterminer l'ensemble de définition et de dérivabilité de la fonction $f$ puis déterminer sa fonction dérivée *{bold::de deux manières différentes}.
On considère la fonction $f$ définie par $f : x \mapsto -2x^2 -4x +6$ de représentation graphique $\mathcal{C}_f$.
Donner l'ensemble de définition $\mathcal{D}_f$ de $f$.
Déterminer la fonction dérivée $f'$ de la fonction $f$.
Donner l'ensemble de dérivabilité de la fonction $f$.
Déterminer l'équation de la tangente $(T_{-2})$ en $-2$.
Déterminer l'équation de la tangente $(T_0)$ en $0$.
Démontrer que $(T_{-2})$ et $(T_{0})$ sont sécantes.
Déterminer par le calcul le point d'intersection de $(T_{-2})$ et $(T_{0})$.
Tracer, dans un repère, la représentation graphique $\mathcal{C}_f$ de $f$, $(T_{-2})$ et $(T_{0})$ et la représentation graphique $\mathcal{C}_{f'}$ de $f'$.
On considère la fonction $f$ définie par $f: x \mapsto \dfrac{3x-7}{4-2x} + 2x^2 - 7x + 5 - 4\sqrt{x}$. @vs5 Déterminer l'ensemble de définition et de dérivabilité de la fonction $f$ puis déterminer la fonction dérivée de $f$. Justifier très précisément.
On considère la fonction $f$ définie par $f : x \mapsto 8x+x^2-5$ de représentation graphique $\mathcal{C}_f$.
Donner l'ensemble de définition $\mathcal{D}_f$ de $f$.
Déterminer la fonction dérivée $f'$ de la fonction $f$.
Donner l'ensemble de dérivabilité de la fonction $f$.
Déterminer l'équation *{tdu::réduite} de la tangente $(T_{-2})$ en $-2$.
Déterminer l'équation *{tdu::réduite} de la tangente $(T_{-5})$ en $-5$.
Démontrer que $(T_{-2})$ et $(T_{-5})$ sont sécantes.
Déterminer par le calcul le point d'intersection de $(T_{-2})$ et $(T_{-5})$.
Tracer, dans un repère, la représentation graphique $\mathcal{C}_f$ de $f$, $(T_{-2})$ et $(T_{-5})$ et la représentation graphique $\mathcal{C}_{f'}$ de $f'$.