1G - F3 - Fonction exponentielle
On considère la fonction $f$ définie par $f:x \mapsto (x^2-x-2)\e^x$ de courbe représentative $\mathcal{C}_f$ dans un repère orthonormé.@vs10
Déterminer la dérivée $f'$ de $f$.
Déterminer le signe de $f'(x)$ puis dresser le tableau de variations de $f$.
Démontrer que $f$ possède deux extremums locaux. Préciser leur nature ainsi que leur valeur.
Résoudre l'inéquation $f(x) \leqslant 0$.
Déterminer l'équation de la tangente $T_{-2}$ à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $-2$.
Déterminer, par le calcul, les coordonnées du point $C$ intersection de $T_{-2}$ et de l'axe des abscisses.
Tracer $\mathcal{C}_f$ et $T_{-2}$.
On considère la fonction $f$ définie par $f: x \mapsto 2x\times \e^{x+1}$.
Déterminer l'ensemble de définition et l'ensemble de dérivabilité de $f$.
Déterminer la fonction dérivée de $f$. Factoriser $f'(x)$. Justifier précisément.
Déterminer le signe de $f'(x)$. On pourra faire un tableau de signes. Justifier précisément.
En utilisant la calculatrice pour tracer la réprésentation graphique $\mathcal{C}_f$ de la fonction $f$, déterminer le tableau de variations de $f$.
Quel est le lien entre le tableau de signes de $f'(x)$ et le tableau de variations de $f$ ?
Déterminer l'équation de la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $-2$ puis celle au point d'abscisse $-1$.
On définit les fonctions cosinus et sinus hyperbolique sur $\R$ de la façon suivante : @vs5 --b $\cosh : x \mapsto \dfrac{\e^x + \e^{-x}}{2}$ @vs10 --b $\sinh : x \mapsto \dfrac{\e^x - \e^{-x}}{2}$ @vs10
Établir le tableau de variations complet de la fonction $\cosh$.
Établir le tableau de variations complet de la fonction $\sinh$.
Simplifier $\cosh(x) + \sinh(x)$.
Calculer $(\cosh(x))^2 - (\sinh(x))^2$ pour $x \in \R$.
Démontrer que $\sinh(2x) = 2 \sinh(x) \cosh(x)$ pour $x \in \R$.
On considère la fonction $f$ définie par $f: x \mapsto \dfrac{x^2}{e^x}$ de représentation graphique $\mathcal{C}_f$. @vs10 *{italic::Toutes les réponses devront être justifiées avec précision.} @vs10
Démontrer que $\mathcal{D}_f = \R$
Démontrer que $f': x \mapsto x(2-x)e^{-x}$
Construire le tableau de variations de la fonction $f$.
Déterminer la position relative de $\mathcal{C}_f$ par rapport à l'axe des abscisses.
Déterminer les extremums locaux de $f$.
Déterminer l'équation réduite des tangentes à $\mathcal{C}_f$ horizontales.
Soit la fonction $f$ définie par : $f: x \mapsto \exp{(-4x^2 + 1)}$ de représentation graphique $\mathcal{C}_f$.
Déterminer la fonction dérivée de $f$.
Déterminer la position relative de $\mathcal{C}_f$ par rapport à l'axe des abscisses. Justifier.
Construire le tableau de variation de $f$. Justifier précisément.
Démontrer que $f(x) \in ]0;\e]$.
Déterminer l'équation réduite de la tangente à $\mathcal{C}_f$ qui est horizontale. On la note $(\Delta)$. Justifier.
Déterminer l'équation réduite de la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $-0,5$. On la note $(T)$. Justifier.
Déterminer l'équation réduite de la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $0,5$. On la note $(d)$. Justifier.
Dans un repère orthogonal, tracer $(\Delta)$ , $(T)$ , $(d)$ puis $\mathcal{C}_f$ en utilisant toutes les informations disponibles. Justifier précisément.
@vs10 @vs10 *{Rappel : } $\Big[\e^{u(x)}\Big]' = u'(x)\times\e^{u(x)}$
On considère la fonction $f$ définie par $f:x \mapsto (x^2+2x-2)\e^x$ de courbe représentative $\mathcal{C}_f$ dans un repère orthonormé.@vs10 *{bold::Toutes les réponses doivent être justifiées avec précision et rigueur.} @vs10
Déterminer la dérivée $f'$ de $f$.
Déterminer le signe de $f'(x)$ puis dresser le tableau de variations de $f$.
Démontrer que $f$ possède deux extremums locaux. Préciser leur nature ainsi que leur valeur.
Résoudre l'inéquation $f(x) \leqslant 0$.
Déterminer l'équation de la tangente $T_{-2}$ à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $-2$.
Déterminer, par le calcul, les coordonnées du point $C$ intersection de $T_{-2}$ et de l'axe des ordonnées.
On considère la fonction $f$ définie par $f : x \mapsto (x^2+2x-8)\e^{-x}$ de représentation graphique $\mathcal{C}_f$.
Déterminer l'ensemble de définition et l'ensemble de dérivabilité de $f$.
Déterminer la fonction dérivée de la fonction $f$.
Faire un tableau de signes de $f'(x)$
En déduire le tableau de variations de la fonction $f$.
Déterminer les extremum de la fonction $f$. Justifier.
Déterminer l'équation réduite de la tangente en $-\sqrt{10}$.
Déterminer l'équation réduite de la tangente en $2$.
Déterminer par le calcul les abscisses des points de la courbe $\mathcal{C}_f$ situés en dessous de l'axe des abscisses.
On considère la fonction $f$ définie par $f : x \mapsto (-1+x^2)\e^{-0.5x^2}$ de représentation graphique $\mathcal{C}_f$
Déterminer l'ensemble de définition et l'ensemble de dérivabilité de $f$. Justifier.
Déterminer la fonction dérivée de la fonction $f$ (Il faut utiliser la formule du produit).
Faire un tableau de signes de $f'(x)$
En déduire le tableau de variations de la fonction $f$.
Déterminer l'équation réduite de la tangente $(d)$ en $1$.
Déterminer l'équation réduite de la tangente $(\Delta)$ en $-1$.
Démontrer que $(d)$ et $(\Delta)$ sont sécantes en $A$ puis déterminer les coordonnées de $A$ par le calcul.
Déterminer par le calcul les abscisses des points de la courbe $\mathcal{C}_f$ situés au dessus de l'axe des abscisses.
Dans un même repère tracer avec précision $\mathcal{C}_f$, $(d)$ et $(\Delta)$. Aucune justification n'est demandée.
Expliquer pourquoi quand $x \longrightarrow -\infty$ alors $f(x) \longrightarrow 0$.
Expliquer pourquoi quand $x \longrightarrow +\infty$ alors $f(x) \longrightarrow 0$.
On considère l'équation $(E_0) : \e^{x} = \alpha$ avec $\alpha$ un réel quelconque.
Démontrer que l'équation $(E_0)$ n'admet pas de solution si $\alpha \leqslant 0$
Démontrer que l'équation $(E_0)$ admet comme solution $\ln{(\alpha)}$ si $\alpha > 0$
En déduire l'image de 1 par la fonction $\ln$
En déduire l'image de $\e$ par la fonction $\ln$
On considère l'équation $(E_1) : \e^{2x} + 2\e^x - 8 = 0$. On pose $X = e^x$
Démontrer que résoudre l'équation $(E_1)$ revient à résoudre une équation $(E_1')$ du second degré (de variable $X$). Expliciter $(E_1')$
Résoudre l'équation $(E_1')$.
Démontrer alors que l'équation $(E_1)$ ne possède qu'une seule solution valant $\ln{(2)}$ (Il faut utiliser les résultats de l'exercice n°1)
Résoudre l'équation $(E_2) : \e^{2x} - 9\e^x + 20 = 0$.
Résoudre l'équation $(E_3) : 2\e^{x} + 12\e^{-x} - 10 = 0$.
Résoudre l'équation $(E_4) : -3\e^{2x} +12\e^{x} +15 = 0$.
On considère la fonction $f$ définie par $f : x \mapsto \dfrac{e^{2x}}{x^2}$.
Déterminer l'ensemble de définition et l'ensemble de dérivabilité de $f$. Justifier.
Déterminer la fonction dérivée de la fonction $f$.
Faire un tableau de signes de $f'(x)$
En déduire le tableau de variations de la fonction $f$.
Déterminer l'équation réduite de la tangente en $2$.
Déterminer l'équation réduite de la tangente en $-1$.
On considère l'inéquation $(I_0) : a < \e^{x} \leqslant b$ avec $a$ et $b$ deux réels strictement positifs.
Démontrer que la fonction $\ln$ est croissante sur $]0;+\infty[$.
Démontrer que $a < \e^{x} \leqslant b$ $\ssi$ $\ln{(a)} < \ln{\big(\e^{x}\big)} \leqslant \ln{(b)}$ (On pourra utiliser ce résultat dans la suite)
En déduire que les solutions de $(I_0)$ sont $x \in \Big] \ln{(a)} ; \ln{(b)} \Big]$
On considère l'inéquation $(I_1) : \e^{2x} - 8\e^x + 12 \geqslant 0$. On pose $X = e^x$
Démontrer que résoudre l'inéquation $(I_1)$ revient à résoudre une inéquation $(I_1')$ du second degré (de variable $X$). Expliciter $(I_1')$
Résoudre l'inéquation $(I_1')$.
Démontrer alors que les solutions de l'inéquation $(I_1)$ sont $x \in \Big] -\infty ; \ln{(2)} \Big] \cup \Big[ \ln{(6)} ; -\infty \Big[ $ (Il faut utiliser les résultats de l'exercice n°3)
Résoudre l'inéquation $(I_2) : \e^{2x} - 9\e^x +8 \geqslant 0$.
Résoudre l'inéquation $(I_3) : -2\e^{x} - 12\e^{-x} + 10 > 0$.
Résoudre l'inéquation $(I_4) : -\e^{2x} +4\e^{x} +5 \leqslant 0$.
On considère la fonction $f$ définie par : $ f: x \mapsto e^{2x} -6e^x + 8$ de représentation graphique $\mathcal{C}$
Déterminer l'ensemble de définition et l'ensemble de dérivabilité de $f$.
Déterminer la fonction dérivée de la fonction $f$.
Faire un tableau de signes de $f'(x)$
En déduire le tableau de variations de la fonction $f$.
Déterminer les extremum de la fonction $f$. Justifier.
Déterminer l'équation réduite de la tangente $(d)$ à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$
Déterminer l'équation réduite de la tangente $(\Delta)$ à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $\ln{(3)}$
Expliquer pourquoi quand $x \longrightarrow -\infty$ alors $f(x) \longrightarrow 8$.
Démontrer que $f(x) < 8$ pour tout $x < 0$.
Dans un même repère tracer avec précision $\mathcal{C}$, $(d)$ et $(\Delta)$. Aucune justification n'est demandée.
Déterminer par le calcul les abscisses des points de la courbe $\mathcal{C}$ situés en dessous de l'axe des abscisses.
On considère la fonction $f$ définie par : $ f: x \mapsto e^{2x} -6e^x +5$ de représentation graphique $\mathcal{C}$
Déterminer l'ensemble de définition et l'ensemble de dérivabilité de $f$.
Déterminer la fonction dérivée de la fonction $f$.
Faire un tableau de signes de $f'(x)$.
En déduire le tableau de variations de la fonction $f$.
Déterminer les extremum de la fonction $f$. Justifier.
Déterminer l'équation réduite de la tangente $(d)$ à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$
Déterminer l'équation réduite de la tangente $(\Delta)$ à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $\ln{(5)}$
Compléter : quand $x \longrightarrow -\infty$ alors $f(x) \longrightarrow \; \cdots$ Justifier.
Démontrer que $f(x) < 5$ pour tout $x < \ln{(5)}$.
Dans un même repère tracer avec précision $\mathcal{C}$, $(d)$ et $(\Delta)$. Aucune justification n'est demandée.
Déterminer par le calcul les abscisses des points de la courbe $\mathcal{C}$ situés au dessus de l'axe des abscisses.
On considère la fonction $f$ définie par : $ f: x \mapsto -e^{2x} +8e^x -15$ de représentation graphique $\mathcal{C}$ (Attention au signe moins devant $e^{2x}$)
Déterminer l'ensemble de définition et l'ensemble de dérivabilité de $f$.
Déterminer la fonction dérivée de la fonction $f$.
Faire un tableau de signes de $f'(x)$.
En déduire le tableau de variations de la fonction $f$.
Déterminer les extremum de la fonction $f$. Justifier.
Déterminer l'équation réduite de la tangente $(d)$ à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$
Déterminer l'équation réduite de la tangente $(\Delta)$ à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $\ln{(4)}$
Expliquer pourquoi quand $x \longrightarrow -\infty$ alors $f(x) \longrightarrow -15$.
Démontrer que $f(x) > -15$ pour tout $x < 0$.
Dans un même repère tracer avec précision $\mathcal{C}$, $(d)$ et $(\Delta)$. Aucune justification n'est demandée.
Déterminer par le calcul les abscisses des points de la courbe $\mathcal{C}$ situés au dessus de l'axe des abscisses.