1G - A2 - Fonctions polynômes du 2nd degré
On considère la fonction $g$ définie par $g: x \mapsto -2x^2 + 8x +2$.
Déterminer le tableau de variations de $g$ et donner son extremum.
Justifier.
Dans un repère, tracer la représentation graphique $\mathcal{C}_g$
de $g$. Justifier.
On considère la fonction $f$ définie par $f: x \mapsto 15x + 3x^2 - 10$.
Déterminer le tableau de variations de $f$ et donner son extremum.
Justifier.
Dans un repère, tracer la représentation graphique $\mathcal{C}_f$
de $f$. Justifier.
Déterminer si les fonctions suivantes sont des fonctions du second degré. Justifier.
$f : x \mapsto (2x+7)^2 - (1-4x)^2$
$g(x) = (-2-3x)^2-(3x+4)(4-3x)$
On considère la fonction $f$ définie par $f(x) = 5x^2 - 3x + 1$. *{tdu::Démontrer} que la forme canonique de
$f$ est : @vs5 $f(x) = 5(x - 0.3)^2 + 55\%$
@vs20
*{bold::Il ne faut pas utiliser les formules de $\alpha$ et $\beta$.}
Déterminer la forme canonique des fonctions suivantes :
$f : x \mapsto -75-40x-5x^2$
$g(x) = 4x^2 + 24x + 33$
$h : x \mapsto5 - 10x - 5x^2$
$k(x) = -10 +10x^2 + 20x $
Soit le trinôme $-3x + 2x^2 +2$. Déterminer son discriminant.
Soit le trinôme $-x +x^2 + 3$. Déterminer son discriminant.
Déterminer la forme factorisée des fonctions suivantes :
$f : x \mapsto -30x - 3x^2-63$
$g(x) = 2x^2 + 24 - 16x$
$m : x \mapsto -x^2 - 4x - 3$
$k : x \mapsto 3x^2 +9 + 12x$
$n(x) = 3x -x^2 + 4$
Résoudre les équations suivantes :
$-9x + x^2 + 12 = 0$
$-8x + x^2 = -24 $
$-3x +x^2 = 2 $
$-10x + 5x^2 = 8 $
Résoudre les inéquations suivantes :
$-8x + x^2 + 12 > 0$
$-16x + 2x^2 + 24 \leqslant 0$
$-3x +x^2 - 2x \geqslant 0 $
$-30x + 5x^2 + 8 \leqslant 0 $
Déterminer le tableau de variations des fonctions suivantes :
$f(x) = -4x^2 + 16x - 20$
$m(x) = - 5x + 4 + x^2 $
$h : x \mapsto -9 - x^2 +10x$
On considère la fonction $f$ définie par $f : x \mapsto -3 - x^2 + 4x $. Tracer la
représentation
graphique de $f$.
On considère la fonction $f$ définie par $f(x) = +9 +3x^2 -12x $. Tracer la représentation
graphique de $f$.
On considère les fonctions $g$ et $h$ définies par $g(x) = -4x+2x^2-2$ et $h(x) = -2 + 8x -4x^2$. Soit
$I(1;0)$.
Dresser le tableau de variation de $g$ et donner son extremum.
Résoudre $g(x) = 0$.
Résoudre $g(x) \leqslant 0$.
Dresser le tableau de variation de $h$ et donner son extremum.
Résoudre $h(x) = 0$.
Résoudre $h(x) < 0$.
*{tdu::Dans un même repère} orthonormé, tracer les représentations graphiques des fonctions
$g$ et $h$. Justifier très précisément.
Soient $A$ et $B$ les points d'intersections des représentations graphiques des fonctions
$g$ et $h$. Calculer les coordonnées de $A$ et $B$. Justifier précisément.
Démontrer que $AIB$ est isocèle.
On considère la fonction $f$ définie par $f : x \mapsto (x-3)^2 + (5+x)^2$.
Démontrer que la fonction $f$ est une fonction du second degré.
Déterminer la forme canonique de $f$.
Démontrer que la fonction $f$ est décroissante sur $I = ]-\infty; -1]$ (on pourra utiliser
la forme canonique)
On considère la fonction $f$ définie par $f: x \mapsto 8x - 1 + 2x^2$.
Déterminer le tableau de variation de $f$. Justifier.
Démontrer que $f(x) \geqslant -9$ pour tout $x \in \R$
Dans un repère, tracer la représentation graphique $\mathcal{C}_f$
de $f$. Justifier.
On considère la fonction $g$ définie par $g: x \mapsto (2x-2)^2 - (4x - 1)^2$.
Démontrer que $g$ est une fonction du second degré.
Déterminer le tableau de variation de $g$. Justifier.
Démontrer que $g(x) < 4$ pour tout $x \in \R$
Dans un repère, tracer la représentation graphique $\mathcal{C}_g$
de $g$. Justifier.
On considère la fonction $f$ définie par $f(x) = 2x^2 +bx -2$ dont la forme canonique est :
$f(x) = a(x + 2)^2 + \beta$
@vs10
Déterminer la forme développée et canonique de la fonction $f$. Justifier très précisément.
On considère la fonction définie par $f : x \mapsto -4x -2x^2+3$. Démontrer que $f\Big(2^{2022} \Big)
> f\Big(4^{1011} + 10^{-2021}\Big)$
On considère la fonction définie par $f : x \mapsto 2x -2x^2+24$.
Déterminer le tableau de variation de $f$ puis donner son extremum.
Justifier.
Dans un repère, tracer la représentation graphique $\mathcal{C}_f$
de $f$. Justifier.
Résoudre $f(x) = 0$
Résoudre $f(x) < 0$
Déterminer l'ensemble de définition de $g : x \mapsto \sqrt{-2x^2+4x + 16} $
On considère les fonctions $g$ et $h$ définies par $g(x) = 12x+2x^2+16$ et $h(x) = -15-18x-3x^2$.
Dresser le tableau de variation de $g$ et donner les coordonnées du point $A$ correspondant
à
l'extremum de $g$.
Factoriser $g(x)$.
Résoudre $g(x) = 0$.
Résoudre $g(x) \geqslant 0$.
Dresser le tableau de variation de $h$ et donner les coordonnées du point $B$ correspondant
à
l'extremum de $h$.
Factoriser $h(x)$.
Résoudre $h(x) = 0$.
Résoudre $h(x) > 0$.
*{tdu::Dans un même repère} orthogonal, tracer les représentations graphiques des fonctions
$g$ et $h$. Justifier très précisément.
Soient $C$ et $D$ les points d'intersections des représentations graphiques des fonctions
$g$ et $h$. Calculer les coordonnées de $C$ et $D$. Justifier précisément.
Démontrer que $(AB)$ est la médiatrice de $[CD]$.
On considère les fonctions $g$ et $h$ définies par $g(x) = -2x+x^2-3$ et $h(x) = 3 + 2x -x^2$.
Dresser le tableau de variation de $g$ et donner son extremum.
Résoudre $g(x) = 0$.
Résoudre $g(x) \leqslant 0$.
Dresser le tableau de variation de $h$ et donner son extremum.
Résoudre $h(x) = 0$.
Résoudre $h(x) < 0$.
*{tdu::Dans un même repère} orthonormé, tracer les représentations graphiques des fonctions
$g$ et $h$. Justifier très précisément.
Déterminer l'équation de la tangente $T_{-1}$ à $\mathcal{C}_g$ au point d'abscisse $-1$
puis la tracer. Justifier.
Déterminer l'équation de la tangente $T_{2}$ à $\mathcal{C}_h$ au point d'abscisse $2$ puis
la tracer. Justifier.
Démontrer que $T_{-1}$ et $T_{2}$ sont parallèles.
On considère la fonction $f$ definie par $f: x \mapsto 8 + 2x - x^2$
Déterminer le tableau de variations de $f$.
Tracer la représentation graphique $\mathcal{C}_f$ de $f$.
Justifier.
Factoriser $f$.
Résoudre, graphiquement et par le calcul, $f(x) = 0$
On considère la fonction $g$ définie par $g: x \mapsto (x+6)^2 - (2x - 3)^2$.
Démontrer que $g$ est une fonction du second degré.
Déterminer le tableau de variation de $g$. Justifier.
Démontrer que $g(x) < 100$ pour tout $x \in \R$
Dans un repère, tracer la représentation graphique $\mathcal{C}_g$
de $g$. Justifier.
On considère la fonction $f$ définie par $f : x \mapsto 2x^2 +bx -2$ dont la forme canonique est :
$f(x) = a(x + 2)^2 + \beta$
Déterminer la forme développée et canonique de la fonction $f$.
Justifier.
Déterminer le tableau de variation de $f$ puis démontrer que $f(x)
\geqslant -10$.
Justifier.
On considère la fonction $g$ définie par $g: x \mapsto 12x - 3x^2 -3$.
Déterminer le tableau de variation de $g$. Justifier.
Donner l'extremum de $g$.
Dans un repère, tracer la représentation graphique $\mathcal{C}_g$
de $g$. Justifier.
Résoudre $g(x) = 0$.
Résoudre $g(x) < 0$.
On considère la fonction $f$ du second degré dont le minimum vaut $-4$ qui est atteint en $2$. Démontrer,
avec
précision et rigueur, que
$f\Bigg( -\dfrac{3^{96}}{3^{-4}}\Bigg) > f\Bigg( (-3)^{97}\times 3^{2}\Bigg)$
On considère les fonctions $g$ et $h$ définies par $g : x \mapsto 12x+2x^2+16$ et $h: x \mapsto
-15-18x-3x^2$.
Dresser le tableau de variation de $g$.
Résoudre $g(x) = 0$.
Résoudre $g(x) \geqslant 0$.
Dresser le tableau de variation de $h$
Résoudre $h(x) = 0$.
Résoudre $h(x) > 0$.
On considère la fonction $f$ définie par $f : x \mapsto -2x^2 +4x + 1$. Démontrer que $f\Big(10^{2021} \Big)
> f\Big(10^{2021} + 10^{-2021}\Big)$
On considère les fonctions $g$ et $h$ définies par $g : x \mapsto 4x+2x^2-6$ et $h: x \mapsto 16+4x-2x^2$.
Dresser le tableau de variation de $g$ et donner les coordonnées du point $E$ correspondant
à
l'extremum de $g$.
Factoriser $g(x)$.
Résoudre $g(x) = 0$.
Résoudre $g(x) \geqslant 0$.
Dresser le tableau de variation de $h$ et donner les coordonnées du point $L$ correspondant
à
l'extremum de $h$.
Factoriser $h(x)$.
Résoudre $h(x) = 0$.
Résoudre $h(x) > 0$.
Soient $A$ et $T$ les points d'intersections des représentations graphiques des fonctions
$g$ et $h$. Calculer les coordonnées de $A$ et $T$. Justifier précisément.
Démontrer que $AETL$ est un parallélogramme.
En vert, la représentation graphique de la fonction $g$ et en rouge la représentation graphique de la
fonction
$h$. Attention, il n'est pas demandé de tracer ces représentations.
On considère la fonction $f: x \mapsto ax^2 + bx + c$ de forme canonique $f(x) = a(x-\alpha)^2 + \beta$.
@vs10
Démontrer que $f'(x) = 0$ $\ssi$ $x = \alpha$
On considère le trinôme : $mx^2-4(m-1)x + 4m-1$ où $m$ est un paramètre réel. @vs5
L'objectif est de déterminer les valeurs de $m$ pour que ce trinôme possède deux racines $x_1$ et $x_2$
telles que
$x_1 - x_2 = 2$.
Déterminer les valeurs de $m$ pour que ce trinôme possède deux racines $x_1$ et $x_2$.
En utilisant la somme et la relation $x_1 - x_2 = 2$, démontrer que $x_1 = \dfrac{3m-2}{m}$
et
$x_2 = \dfrac{m-2}{m}$
Calculer $x_1\times x_2$ de deux manières différentes.
Déduire de la question précédente, une équation du second degré en $m$. La résoudre.
Conclure.
On considère le trinôme : $(m-1)x^2-2(m+2)x + (-2m)$ où $m$ est un paramètre réel. @vs5
Étudier, suivant les valeurs de $m$, l'existence de deux racines du trinôme.
Pour quelles valeurs de $m$, ces deux racines sont de signe contraire ? Justifier.
Pour quelles valeurs de $m$, ces deux racines sont de même signe ? Justifier.
Démontrer que ces deux racines ne peuvent pas être positives.
En déduire les valeurs de $m$ pour lesquelles ces deux racines sont négatives.
Résoudre l'inéquation $\dfrac{4-x^2}{x^2+2x-3} \leqslant 0$
On considère le trinôme : $mx^2-2(m+2)x + 3m +4$ où $m$ est un paramètre réel. @vs5
Étudier, suivant les valeurs de $m$, l'existence de deux racines de signe contraire du trinôme.
On considère la fonction $g$ définie par $g: x \mapsto (x+6)^2 - (2x - 3)^2$.
Démontrer que $g$ est une fonction du second degré.
Déterminer la forme canonique de $g$. Justifier.
Démontrer que $g(x) < 100$ pour tout $x \in \R$
Dans un repère, tracer la représentation graphique $\mathcal{C}_g$
de $g$. Justifier.
On considère le trinôme : $(m+2)x^2+3(m+1)x + 2m-3$ où $m$ est un paramètre réel. @vs5
Déterminer les valeurs de $m$ pour que ce trinôme possède deux racines $x_1$ et $x_2$.
Pour quelles valeurs de $m$ les deux racines $x_1$ et $x_2$ sont de signe contraire ?
Justifier.
Pour quelles valeurs de $m$ les deux racines $x_1$ et $x_2$ sont de même signe ? Justifier.
Pour quelles valeurs de $m$ les deux racines $x_1$ et $x_2$ sont toutes les deux positives
?
Justifier.
Pour quelles valeurs de $m$ les deux racines $x_1$ et $x_2$ sont toutes les deux négatives
?
Justifier.
On considère la fonction $f$ définie par $f : x \mapsto \Big( 4x + \dfrac{100}{x}\Big)^2$ sur
$\Big]0;+\infty\Big[$.
Démontrer que le minimum
de $f$ est $1600$ et est atteint pour $x=5$.
On considère la fonction $f$ du second degré dont le minimum vaut $-4$ qui est atteint en $2$. Démontrer,
avec
précision et rigueur, que
$f\Bigg( -\dfrac{3^{96}}{3^{-4}}\Bigg) > f\Bigg( (-3)^{97}\times 3^{2}\Bigg)$
On considère la fonction $g$ définie par $g: x \mapsto -2x^2 - 12x -23$.
Déterminer la forme canonique de $g$. Justifier.
Démontrer que $g(x) \leqslant -5$ pour tout $x \in \R$
Dans un repère, tracer la représentation graphique $\mathcal{C}_g$
de $g$. Justifier.
On considère la fonction $f$ définie par $f: x \mapsto -3 -6x + 3x^2$.
Déterminer la forme canonique de $f$. Justifier.
Démontrer que $f(x) > -10$ pour tout $x \in \R$
Dans un repère, tracer la représentation graphique $\mathcal{C}_f$
de $f$. Justifier.
On considère la fonction $g$ définie par $g: x \mapsto -3x^2 + 12x +2$.
Déterminer le tableau de variations de $g$ et donner son extremum.
Justifier.
Dans un repère, tracer la représentation graphique $\mathcal{C}_g$
de $g$. Justifier.
On considère la fonction $f$ définie par $f: x \mapsto 8x + x^2 - 5$.
Déterminer le tableau de variations de $f$ et donner son extremum.
Justifier.
Dans un repère, tracer la représentation graphique $\mathcal{C}_f$
de $f$. Justifier.
Résoudre l'inéquation $\dfrac{x^2 +8x +15}{5x - x^2 - 6} \leqslant 0$
On considère le trinôme : $(m+2)x^2+3(m+1)x + 2m-3$ où $m$ est un paramètre réel. @vs5
Démontrer que ce trinôme est factorisable pour $m \in \big]-\infty;-11\big] \cup
\big[-3;-2\big[\cup\big]-2;+\infty\big[$
Factoriser ce trinôme pour $m=-3$.
Factoriser ce trinôme pour $m=1$.
On considère le trinôme : $mx^2-4(m-1)x + 4m-1$ où $m$ est un paramètre réel. @vs5
L'objectif est de déterminer les valeurs de $m$ pour que ce trinôme possède deux racines $x_1$ et $x_2$
telles que
$x_1 - x_2 = 2$.
Déterminer les valeurs de $m$ pour que ce trinôme possède deux racines $x_1$ et $x_2$.
En utilisant la somme et la relation $x_1 - x_2 = 2$, démontrer que $x_1 = \dfrac{3m-2}{m}$
et
$x_2 = \dfrac{m-2}{m}$
Calculer $x_1\times x_2$ de deux manières différentes.
Déduire de la question précédente, une équation du second degré en $m$. La résoudre.
Conclure.
On considère le trinôme : $(m-1)x^2-2(m+2)x + (-2m)$ où $m$ est un paramètre réel. @vs5
Étudier, suivant les valeurs de $m$, l'existence de deux racines du trinôme.
Pour quelles valeurs de $m$, ces deux racines sont de signe contraire ? Justifier.
Pour quelles valeurs de $m$, ces deux racines sont de même signe ? Justifier.
Démontrer que ces deux racines ne peuvent pas être positives.
En déduire les valeurs de $m$ pour lesquelles ces deux racines sont négatives.
Déterminer, si c'est possible, deux nombres réels dont la somme vaut $8$ et le produit vaut $10$.
On considère le trinôme : $(m+2)x^2+3(m+1)x + 2m-3$ où $m$ est un paramètre réel. @vs5
Déterminer les valeurs de $m$ pour que ce trinôme possède deux racines $x_1$ et $x_2$.
Pour quelles valeurs de $m$ les deux racines $x_1$ et $x_2$ sont de signe contraire ?
Justifier.
Pour quelles valeurs de $m$ les deux racines $x_1$ et $x_2$ sont de même signe ? Justifier.
Pour quelles valeurs de $m$ les deux racines $x_1$ et $x_2$ sont toutes les deux positives
?
Justifier.
Pour quelles valeurs de $m$ les deux racines $x_1$ et $x_2$ sont toutes les deux négatives
?
Justifier.
Résoudre l'inéquation $\dfrac{5-x^2}{x^2+2x-5} \geqslant 0$
On considère le trinôme : $(m-1)x^2-2(m+1)x + 2m+1$ où $m$ est un paramètre réel. @vs5
Démontrer que ce trinôme est factorisable pour $m \in \Bigg[\dfrac{3-\sqrt{17}}{2};1\Bigg[ \cup
\Bigg]1;\dfrac{3+\sqrt{17}}{2}\Bigg]$
On considère le trinôme : $mx^2-2(m+2)x + 3m +4$ où $m$ est un paramètre réel. @vs5
Étudier, suivant les valeurs de $m$, l'existence de deux racines de signe contraire du trinôme .
Déterminer, si c'est possible, deux nombres réels dont la somme vaut $10$ et le produit vaut $12$.