1G - G2 - Géométrie repérée
Dans un repère orthnormé $(0;\vecteur{i},\vecteur{j})$, on a $A(-3;1)$ ; $B(5;-3)$ ; $D(5;6)$ et $E(4;2)$
Faire une figure. Tracer $(AB)$ et $(ED)$
Déterminer l'équation réduite de la droite $(AB)$.
Démontrer qu'une équation cartésienne de $(ED)$ est $(ED) : -8x + 2y + 28 = 0$
Démontrer que les droites $(AB)$ et $(ED)$ sont sécantes.
Déterminer, par le calcul, les coordonnées du point $C$ d'intersection de $(AB)$ et $(ED)$. Placer $C$.
Dans un repère orthnormé $(0;\vecteur{i},\vecteur{j})$, on a $A(-2;1)$ ; $B(3;-1)$ ; $\cvecteur{a}{-2}{4}$ et $\cvecteur{b}{3}{-10}$. @vs5 On considère la droite $(d)$ de vecteur directeur $\vecteur{a}$ passant par $A$ et la droite $(\Delta)$ de vecteur directeur $\vecteur{b}$ passant par $B$.
Déterminer l'équation réduite de la droite $(d)$.
Déterminer l'équation cartésienne de la droite $(\Delta)$ dont le troisième paramètre est $-5$.
Démontrer que les droites $(d)$ et $(\Delta)$ sont sécantes.
Déterminer, par le calcul, les coordonnées du point $C$ d'intersection de $(d)$ et $(\delta)$.
Faire une figure complète. Justifier précisément notamment la construction des droites $(d)$ et $(\Delta)$.
Dans un repère orthnormé $(0;\vecteur{i},\vecteur{j})$, on a $A(-2;1)$ ; $B(3;-1)$ ; $\cvecteur{a}{-2}{4}$ et $\cvecteur{b}{3}{-10}$. @vs5 On considère la droite $(d)$ de vecteur normal $\vecteur{a}$ passant par $A$ et la droite $(\Delta)$ de vecteur normal $\vecteur{b}$ passant par $B$.
Déterminer l'équation réduite de la droite $(d)$.
Déterminer l'équation réduite de la droite $(\Delta)$.
Démontrer que les droites $(d)$ et $(\Delta)$ sont sécantes.
Déterminer, par le calcul, les coordonnées du point $C$ d'intersection de $(d)$ et $(\delta)$.
Faire une figure complète. Justifier précisément notamment la construction des droites $(d)$ et $(\Delta)$.
Dans un repère orthonormé on place $B(-1;-3)$ ; $C(-5;5)$ et $D(1;3)$
Tracer le repère et placer les points.
$(d_1)$ est la médiatrice de $[BD]$. Déterminer l'équation réduite de $(d_1)$. Tracer $(d_1)$. Justifier.
$(d_2)$ est la médiatrice de $[CD]$. Déterminer l'équation réduite de $(d_2)$. Tracer $(d_2)$. Justifier.
Déterminer les coordonnées du point $A$, intersection de $(d_1)$ et $(d_2)$. Placer $A$. Justifier.
Démontrer que le cercle $\mathcal{C}$, cercle circonscrit au triangle $BCD$, a pour centre $A$. Tracer $\mathcal{C}$.
Démontrer que $BCD$ est un triangle rectangle.
Calculer $\vecteur{CB} \cdot \vecteur{CD}$.
On considère les points $R(-2;8)$ et $L(3;-2)$ dans un repère orthonormé $(O;\vecteur{i},\vecteur{j})$. Déterminer l'équation réduite de la droite $(RL)$.
On considère les points $A(3;-5)$ et $B(-2;5)$ dans un repère orthonormé $(O;\vecteur{i},\vecteur{j})$. Déterminer l'équation réduite de la droite $(AB)$.
Dans un repère orthonormé on place $B(-1;-3)$ ; $C(-5;5)$ et $D(1;3)$
Tracer le repère et placer les points.
$(d_1)$ est la médiatrice de $[BD]$. Déterminer l'équation réduite de $(d_1)$. Tracer $(d_1)$. Justifier.
$(d_2)$ est la médiatrice de $[CD]$. Déterminer l'équation réduite de $(d_2)$. Tracer $(d_2)$. Justifier.
Déterminer les coordonnées du point $A$, intersection de $(d_1)$ et $(d_2)$. Placer $A$. Justifier.
Démontrer que le cercle $\mathcal{C}$, cercle circonscrit au triangle $BCD$, a pour centre $A$. Tracer $\mathcal{C}$.
Démontrer que $BCD$ est un triangle rectangle.
Calculer $\vecteur{CB} \cdot \vecteur{CD}$.
Dans un repère orthonormé $(O,\vecteur{i},\vecteur{j})$ on place $A(-5;2)$ ; $B(5;-3)$ ; $C(-3;1)$ et $D(-1;5)$. On considère la droite $(d_1) : y = -\dfrac{1}{2}x - \dfrac{1}{2}$.
Tracer le repère et placer les points.
Démontrer que les points $A$, $B$ et $C$ sont alignés puis déterminer le réel $k$ tel que $\vecteur{CA} = k\times \vecteur{AB}$.
Démontrer $A \in (d_1)$ et $B \in (d_1)$. Tracer $(d_1)$.
On considère la droite $(d_2)$ telle que $(d_1) \perp (d_2)$ et $C \in (d_2)$. Déterminer l'équation réduite de $(d_2)$. Tracer $(d_2)$. Justifier précisément.
Démontrer que $C$ est le projeté orthogonal de $D$ sur $(AB)$.
Démontrer que $\vecteur{AB} \cdot \vecteur{AD} = \vecteur{AC} \cdot \vecteur{AB}$
Dans un repère orthonormé $\Big(O;\vecteur{i};\vecteur{j}\Big)$ on a $A(-5;-4)$ ; $B(2;-3)$ ; $C(-2;5)$.
Tracer le repère et placer ces points. Tracer $ABC$.
Démontrer que l'orthocentre $H$ de $ABC$ (intersection des hauteurs du triangle $ABC$) a pour coordonnées $H(-1;-2)$.
On considère le point $A(2;5)$ dans un repère orthonormé $(O;\vecteur{i},\vecteur{j})$. Déterminer l'équation réduite de la droite $(d)$ passant par $A$ et dont les vecteurs directeurs sont orthogonaux à $\cvecteur{n}{6}{-2}$.
On considère la droite $(d) : 4x - 2y - 6= 0$ et le point $A(3;-2)$. Soit $H$ le projeté orthogonal du point $A$ sur la droite $(d)$. Soit $M$ un point d'abscisse $x$ qui parcourt la droite $(d)$ c'est à dire $M \in (d)$. @vs15 *{bold;testsc;#660000::Partie I} @vs5
@hs5 I.a Donner la définition du projeté orthogonal $H$ puis la relation entre $AM$ et $AH$ ($M$ parcourt la droite $(d)$).
@hs5 I.b Dans un repère orthonormé, tracer $(d)$ puis placer $A$. Justifier précisément.
@hs5 I.c Déterminer les coordonnées de $M$ (en fonction de $x$). Justifer.
@vs15 *{bold;testsc;#660000::Partie II} @vs5
@hs5 II.a Démontrer que $AM = \sqrt{5x^2 -10x + 10}$. On pose dans la suite de l'exercice $f:x \mapsto \sqrt{5x^2 -10x + 10}$
@hs5 II.b Déterminer l'ensemble de définition de $f$. Justifier.
@hs5 II.c Déterminer la dérivée $f'$ de $f$.
@hs5 II.d Construire le tableau de variation complet de $f$. Justifier.
@hs5 II.e Démontrer que $f$ possède un minimum. Préciser en quelle abscisse et sa valeur.
@hs5 II.f Démontrer que $AH = \sqrt{5}$.
@hs5 II.g Démontrer que $H(1;-1)$.
@vs15 *{bold;testsc;#660000::Partie III} : dans cette partie, on note par $x_H$ l'abscisse du point $H$. @vs5
@hs5 III.a Déterminer les coordonnées d'un vecteur $\vecteur{n}$ normal à la droite $(d)$.
@hs5 III.b Expliquer pourquoi les vecteurs $\vecteur{n}$ et $\vecteur{AH}$ sont colinéaires.
@hs5 III.c Déterminer les coordonnées de $\vecteur{AH}$ en fonction de $x_H$.
@hs5 III.d Déduire des questions précédentes que $H(1;-1)$.
@hs5 III.e Déduire des questions précédentes que $AH = \sqrt{5}$.
On considère, dans un repère orthonormé, les points $A(1;5)$, $B(4;-4)$ et $C(-3;-3)$ et le vecteur $\cvecteur{u}{-6}{-2}$.
Déterminer l'équation réduite de $(AB)$.
Déterminer l'équation réduite de la droite $(d)$ de vecteur directeur $\vecteur{u}$ et passant par $C$.
Tracer $(AB)$ et $(d)$.
Déterminer un vecteur $\vecteur{v}$ directeur de $(AB)$ et de norme $2$.
Déterminer les coordonnées du point $I$ d'intersection de $(AB)$ et $(d)$. Vérifier sur le graphique en laissant les pointillés.
Déterminer un vecteur normal de $(AB)$ et de $(d)$, tous les deux de norme $2$.
Les droites $(AB)$ et $(d)$ sont-elles perpendiculaires ? Justifier.
On considère, dans un repère orthonormé, les points $E(5;2)$, $F(10;3)$ et $G(-2;4)$ et le vecteur $\cvecteur{u}{2}{-8}$. vspace{10}
Déterminer l'équation cartésienne de $(EF)$.
Déterminer l'équation cartésienne de la droite $(d)$ de vecteur directeur $\vecteur{u}$ et passant par $G$.
Tracer $(EF)$ et $(d)$.
Déterminer un vecteur $\vecteur{v}$ directeur de $(EF)$ et de norme $5$.
Déterminer les coordonnées du point $A$ d'intersection de $(EF)$ et $(d)$. Vérifier sur le graphique en laissant les pointillés.
Déterminer un vecteur normal de $(EF)$ et de $(d)$, tous les deux de norme $3$.
Les droites $(EF)$ et $(d)$ sont-elles perpendiculaires ? Justifier.
On considère la droite $(d) : 2x - y - 10 = 0$ et le point $A(-1;-2)$. Soit $H$ le projeté orthogonal du point $A$ sur la droite $(d)$. Soit $M$ un point d'abscisse $x$ qui parcourt la droite $(d)$ c'est à dire $M \in (d)$. @vs15 *{bold;testsc;#660000::Partie I} @vs5
@hs10 I.a Donner la définition du projeté orthogonal $H$ puis la relation entre $AM$ et $AH$ ($M$ parcourt la droite $(d)$).
@hs10 I.b Dans un repère orthonormé, tracer $(d)$ puis placer $A$. Justifier précisément.
@hs10 I.c Déterminer les coordonnées de $M$ (en fonction de $x$). Justifier.
@vs15 *{bold;testsc;#660000::Partie II} @vs5
@hs10 II.a Démontrer que $AM = \sqrt{5x^2 -30x + 65}$. On pose dans la suite de l'exercice $f:x \mapsto \sqrt{5x^2 -30x + 65}$
@hs10 II.b Déterminer l'ensemble de définition de $f$. Justifier.
@hs10 II.c Déterminer la dérivée $f'$ de $f$.
@hs10 II.d Construire le tableau de variation complet de $f$. Justifier.
@hs10 II.e Démontrer que $f$ possède un minimum. Préciser en quelle abscisse et sa valeur.
@hs10 II.f Démontrer que $AH = 2\sqrt{5}$.
@hs10 II.g Démontrer que $H(3;-4)$.
@vs15 *{bold;testsc;#660000::Partie III} : dans cette partie, on note par $x_H$ l'abscisse du point $H$. @vs5
@hs10 III.a Déterminer les coordonnées d'un vecteur $\vecteur{n}$ normal à la droite $(d)$.
@hs10 III.b Expliquer pourquoi les vecteurs $\vecteur{n}$ et $\vecteur{AH}$ sont colinéaires.
@hs10 III.c Déterminer les coordonnées de $\vecteur{AH}$ en fonction de $x_H$.
@hs10 III.d Déduire des questions précédentes que $H(3;-4)$.
@hs10 III.e Déduire des questions précédentes que $AH = 2\sqrt{5}$.
Dans un repère orthonormé, on considère le cercle $(\mathcal{C})$ de centre $A$ tel que $(\mathcal{C}) : (x+5)^2 + (y+3)^2 = 10$ ; la droite $(d) : -2x+y - 2 = 0$ ; $E(-6;0)$ et $D(-8;-4)$.
Donner les caractéristiques précises de $(\mathcal{C})$.
Faire une figure précise.
Démontrer que le cercle $(\mathcal{C})$ et la droite $(d)$ ont deux points d'intersection $B$ et $C$.
@hs20 Préciser leurs coordonnées. $B$ est le point d'abscisse la plus grande. Les placer.
Démontrer que $[ED]$ est une corde de $(\mathcal{C})$.
Démontrer que $CBED$ est un rectangle de centre $A$.
Dans un repère othonormé $(O;\vecteur{i};\vecteur{j})$, on considère les points $A(-1;1)$ ; $B(4;1)$ ; $D(2;-3)$ et le cercle $(\mathcal{C}_1) : x^2+2x + y^2 -2y - 23 = 0$ et le cercle $(\mathcal{C}_2)$ de centre $C(4;-1.5)$ et de rayon $2.5$. @vs10 *{italic::Toutes les réponses devront être justifiées avec précision.} @vs10
Démontrer que $(\mathcal{C}_1)$ est le cercle de centre $A$ et de rayon $AB$.
Déterminer une équation cartésienne du cercle $(\mathcal{C}_2)$.
Démontrer que $B \in (\mathcal{C}_2)$.
Faire une figure précise et complète.
Démontrer que $(AC)$ est la médiatrice de $[DB]$. La tracer.
Dans un repère othonormé $(O;\vecteur{i},\vecteur{j})$, on considère les points $A(-1;-4)$ ; $B(3;-2)$ et $D(7;-5)$. Le point $C$ est le projeté orthogonal de $D$ sur la droite $(AB)$.
Faire une figure complète.
Déterminer les coordonnées de $C$.
Dans un repère orthnormé $(0;\vecteur{i},\vecteur{j})$, on a $A(1;-2)$ ; $E(4;5)$ ; $\cvecteur{a}{-2}{6}$ et $\cvecteur{b}{3}{-2}$. @vs5 On considère la droite $(d)$ de vecteur *{tdu::normal} $\vecteur{a}$ passant par $A$. @vs5 On considère la droite $(\Delta)$ de vecteur *{tdu::directeur} $\vecteur{b}$ passant par $E$. @vs5
Déterminer l'équation réduite de la droite $(d)$.
Déterminer l'équation réduire de la droite $(\Delta)$.
Démontrer que les droites $(d)$ et $(\Delta)$ sont sécantes.
Déterminer, par le calcul, les coordonnées du point $D$ d'intersection de $(d)$ et $(\Delta)$.
Faire une figure complète. Justifier précisément notamment la construction des droites $(d)$ et $(\Delta)$.
On considère les points $B(2;2)$ ; $D(-4;0)$ et $E(-2;4)$. Soit la droite $(d)$ passant par $E$ et perpendiculaire à la droite $(DB)$. Soit $M$ le point d'intersection de $(d)$ et $(DB)$. vspace{5} On considère la droite $(\Delta)$ parallèle à $(EB)$ et passant par $D$. Soit $A$ le point d'intersection de $(d)$ et $(\Delta)$.
Déterminer les coordonnées de $M$. Expliquer très précisément la démarche.
Déterminer les coordonnées de $A$. Expliquer très précisément la démarche.
Démontrer que $ABED$ est un carré. Déterminer son centre.
Faire une figure complète.
Dans un repère orthnormé $(0;\vecteur{i},\vecteur{j})$, on a $A(1;-2)$ ; $E(4;5)$ ; $C(7;3)$ et $\cvecteur{a}{6}{2}$. @vs5 On considère la droite $(d)$ de vecteur directeur $\vecteur{a}$ passant par $A$.
Déterminer l'équation réduite de la droite $(d)$.
Déterminer l'équation cartésienne de $(EC)$ dont le troisième paramètre vaut $46$.
Démontrer que les droites $(d)$ et $(EC)$ sont sécantes.
Déterminer, par le calcul, les coordonnées du point $D$ d'intersection de $(d)$ et $(EC)$.
Faire une figure complète. Justifier précisément notamment la construction des droites $(d)$ et $(EC)$.
On considère le cercle $\mathcal{C}_1$ de centre $A(-3;2)$ et de rayon $4$ et le cercle $\mathcal{C}_2$ de centre $B(3;-4)$ et de rayon $\sqrt{40}$.
Déterminer par le calcul les coordonnées des points d'intersection $C$ et $D$ de $\mathcal{C}_1$ et $\mathcal{C}_2$. Justifier.
Démontrer que $(AB)$ est la médiatrice de $[CD]$.
Dans un repère orthonormé, on considère les points $C(\alpha,\beta)$ avec $\alpha + \beta \; \cancel{=} \; 0$ ; $A(x;0)$ et $B(0;x)$.@vs10 Démontrer que le triangle $ABC$ est rectangle en $C$ $\ssi$ $x = \alpha + \beta - \dfrac{2\alpha\beta}{\alpha + \beta}$.
Dans un repère orthonormé $\Big(O;\vecteur{i};\vecteur{j}\Big)$ on a $A(1;2)$ ; $B(5;-6)$ ; $C(8;3)$.
Tracer le repère et placer ces points. Tracer $ABC$.
Démontrer que l'orthocentre $H$ de $ABC$ (intersection des hauteurs du triangle $ABC$) a pour coordonnées $H(4;1)$.
Dans un repère orthonormé $(O,\vecteur{i},\vecteur{j})$ on a $A(-4;-1)$ ; $B(2;1)$. Déterminer l'équation réduite de la médiatrice $(d_1)$ de $[AB]$.
Dans un repère orthonormé $(O,\vecteur{i},\vecteur{j})$ on place $A(-4;-3)$ ; $B(4;1)$ ; $C(-2;-2)$ et $D(-5;4)$. On considère la droite $(d_1) : y = \dfrac{1}{2}x - 1$.
Tracer le repère et placer les points.
Démontrer que les points $A$, $B$ et $C$ sont alignés.
Démontrer $A \in (d_1)$ et $B \in (d_1)$. Tracer $(d_1)$.
On considère la droite $(d_2)$ telle que $(d_1) \perp (d_2)$ et $C \in (d_2)$. Déterminer l'équation réduite de $(d_2)$. Justifier précisément.
Démontrer que $C$ est le projeté orthogonal de $D$ sur $(AB)$.
Démontrer que $\vecteur{AB} \cdot \vecteur{AD} = \vecteur{AC} \cdot \vecteur{AB}$
Dans un repère orthonormé $(O,\vecteur{i},\vecteur{j})$ on place $A(-5;2)$ ; $B(5;-3)$ ; $C(-3;1)$ et $D(-1;5)$. On considère la droite $(d_1) : y = -\dfrac{1}{2}x - \dfrac{1}{2}$.
Tracer le repère et placer les points.
Démontrer que les points $A$, $B$ et $C$ sont alignés puis déterminer le réel $k$ tel que $\vecteur{CA} = k\times \vecteur{AB}$.
Démontrer $A \in (d_1)$ et $B \in (d_1)$. Tracer $(d_1)$.
On considère la droite $(d_2)$ telle que $(d_1) \perp (d_2)$ et $C \in (d_2)$. Déterminer l'équation réduite de $(d_2)$. Tracer $(d_2)$. Justifier précisément.
Démontrer que $C$ est le projeté orthogonal de $D$ sur $(AB)$.
Démontrer que $\vecteur{AB} \cdot \vecteur{AD} = \vecteur{AC} \cdot \vecteur{AB}$
Dans un repère orthonormé on place $B(-1;-3)$ ; $C(-5;5)$ et $D(1;3)$
Tracer le repère et placer les points.
$(d_1)$ est la médiatrice de $[BD]$. Déterminer l'équation réduite de $(d_1)$. Tracer $(d_1)$. Justifier.
$(d_2)$ est la médiatrice de $[CD]$. Déterminer l'équation réduite de $(d_2)$. Tracer $(d_2)$. Justifier.
Déterminer les coordonnées du point $A$, intersection de $(d_1)$ et $(d_2)$. Placer $A$. Justifier.
Démontrer que le cercle $\mathcal{C}$, cercle circonscrit au triangle $BCD$, a pour centre $A$. Tracer $\mathcal{C}$.
Démontrer que $BCD$ est un triangle rectangle.
Calculer $\vecteur{CB} \cdot \vecteur{CD}$.
Équations cartésiennes.
Dans un repère orthonormé on a $E(-2;-3)$ et $T(8;2)$. Déterminer une équation cartésienne de $(ET)$
Déterminer une équation cartésienne de $(d)$ de vecteur directeur $\cvecteur{r}{-3}{5}$ et passant par $F(-2;-5)$
Dans un repère orthonormé on a $A(2;4)$ ; $B(9;2)$ et $C(10;-3)$. Déterminer une équation cartésienne de $(d)$ perpendiculaire à $(AB)$ et passant par $C$.
Déterminer une équation cartésienne de $(d)$ de vecteur normal $\cvecteur{n}{-1}{-3}$ et passant par $G(3;-1)$
Dans un repère orthonormé on a $L(3;-1)$ et $K(11;3)$. Déterminer les coordonnnées des points d'intersection de $(LK)$ avec les axes du repère.
Dans un repère orthonormé on a $A(-1;3)$ ; $B(2;-2)$ et $C(-3;-4)$. Déterminer une équation cartésienne de la hauteur issue de $C$ dans le triangle $ABC$.
Dans un repère orthonormé on a $R(-3;-2)$ et $D(4;1)$. Déterminer une équation cartésienne de la médiatrice de $[RD]$.
Dans un repère orthonormé on a $A(2;1)$ ; $B(1;-3)$ et $C(5;-2)$. Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal de $C$ sur $(AB)$.
Dans un repère orthonormé on a $A(1;2)$ ; $B(6;-1)$ ; $C(7;-3)$ et $D(3;3)$. Déterminer les coordonnées du point d'intersection de $(AB)$ et $(CD)$.
Médiatrices.
Dans un repère orthonormé on a $A(-4;1)$ ; $B(2;-5)$ et $C(6;7)$.
Faire une figure que l'on complètera au fur et à mesure.
Déterminer une équation cartésienne de $(\Delta_1)$ médiatrice de $[AB]$. Tracer $(\Delta_1)$
Déterminer une équation cartésienne de $(\Delta_2)$ médiatrice de $[BC]$. Tracer $(\Delta_2)$
Déterminer les coordonnées du point d'intersection $K$ de $(\Delta_1)$ et $(\Delta_2)$.
Démontrer que les trois médiatrices sont concourantes en $K$. $K$ est le centre du cercle circonscrit au triangle $ABC$.
Médianes.
Dans un repère orthonormé on a $A(-5;-1)$ ; $B(1;-3)$ et $C(1;7)$.
Faire une figure que l'on complètera au fur et à mesure.
Déterminer une équation cartésienne de $(\Delta_A)$ médiane issue de $A$. Tracer $(\Delta_A)$
Déterminer une équation cartésienne de $(\Delta_B)$ médiane issue de $B$. Tracer $(\Delta_B)$
Déterminer les coordonnées du point d'intersection $G$ de $(\Delta_A)$ et $(\Delta_B)$.
Démontrer que les trois médianes sont concourantes en $G$. $G$ est le centre de gravité du triangle $ABC$.
Hauteurs.
Dans un repère orthonormé on a $A(-5;2)$ ; $B(3;-1)$ et $C(2;6)$.
Faire une figure que l'on complètera au fur et à mesure.
Déterminer une équation cartésienne de $(\Delta_A)$ hauteur issue de $A$. Tracer $(\Delta_A)$
Déterminer une équation cartésienne de $(\Delta_B)$ hauteur issue de $B$. Tracer $(\Delta_B)$
Déterminer les coordonnées du point d'intersection $H$ de $(\Delta_A)$ et $(\Delta_B)$.
Démontrer que les trois hauteurs sont concourantes en $H$. $H$ est l'orthocentre du triangle $ABC$.
Équation de cercle.
Déterminer si l'équation $(E)$ est une équation de cercle. Si oui, déterminer le centre et le rayon du cercle.
$(E) : x^2 + y^2 - 6x + 8y + 16 = 0$
$(E) : x^2 + y^2 + 10x -12y + 2 = 0$
$(E) : x^2 + y^2 +3x +5y + 8 = 0$
$(E) : x^2 + y^2 +x -y + 1 = 0$
$(E) : x^2 + y^2 -\sqrt{8}x +\sqrt{12}y + 1 = 0$
Intersection droite et cercle.
On considère l'équation $(E) : x^2 + y^2 + 8x + 4y + 7 = 0$ et la droite $(\Delta) : -10x + 2y -62 = 0$
Démontrer que $(E)$ est l'équation d'un cercle $(\mathcal{C})$ de centre $A$. Préciser les coordonnées de $A$ ainsi que le rayon du cercle.
Faire une figure complète en justifiant notamment la construction de la droite $(\Delta)$
Déterminer les coordonnées des points $C$ et $D$, intersections des $(\mathcal{C})$ et $(\Delta)$. Placer ces deux points.
$[CD]$ est-il un diamètre de $(\mathcal{C})$ ? Justifier.
Intersection droite et cercle.
On considère l'équation $(E) : x^2 + y^2 -4x + 2y -11 = 0$ et la droite $(d_m) : 3x + 2y + m = 0$ avec $m$ un paramètre réel.
Démontrer que $(E)$ est l'équation d'un cercle $(\mathcal{C})$ de centre $A$. Préciser les coordonnées de $A$ ainsi que le rayon du cercle.
Déterminer le nombre de points d'intersection entre $(\mathcal{C})$ et $(d_m)$ en fonction du paramètre $m$.
Déterminer les coordonnées des points d'intersection de $(\mathcal{C})$ et $(d_2)$ (c'est à dire pour $m=2$)
Dans un repère orthonormé $\Big(O;\vecteur{i};\vecteur{j}\Big)$, on considère les points $B(2;2)$ ; $D(-4;0)$ et $E(-2;4)$. Soit la droite $(d)$ passant par $E$ et perpendiculaire à la droite $(DB)$. Soit $M$ le point d'intersection de $(d)$ et $(DB)$. vspace{5} On considère la droite $(\Delta)$ parallèle à $(EB)$ et passant par $D$. Soit $A$ le point d'intersection de $(d)$ et $(\Delta)$.
Faire une figure. Tracer $(DB)$, $(d)$ et $(\Delta)$. Placer $M$ et $A$.
Déterminer l'équation réduite de $(DB)$.
Déterminer les coordonnées d'un vecteur $\vecteur{a}$ normal à $(DB)$
En déduire que l'équation réduite de $(d)$ est $(d) : y = -3x-2$
Démontrer que $M(-1,1)$
Déterminer l'équation réduite de $(EB)$.
En déduire l'équation réduite de $(\Delta)$.
Démontrer que $A(0,-2)$
On considère les points $B(2;-2)$ ; $D(-3;1)$ et $C(1;2)$. Soit la droite $(d)$ passant par $C$ et perpendiculaire à la droite $(DB)$. Soit $E$ le point d'intersection de $(d)$ et $(DB)$. On considère la droite $(\Delta)$ parallèle à $(CB)$ et passant par $D$. Soit $A$ le point d'intersection de $(d)$ et $(\Delta)$.
Faire une figure complète.
Déterminer les coordonnées de $E$. Expliquer très précisément la démarche.
Déterminer les coordonnées de $A$. Expliquer très précisément la démarche.
Démontrer que $ABCD$ est un carré. Déterminer son centre.
Dans un repère orthonormé on a $C(8;3)$ et $(d): y = \dfrac{1}{4}x-\dfrac{13}{4}$. Déterminer, en justifiant précisément, les coordonnées du point d'intersection de $(d)$ et de la perpendiculaire à $(d)$ passant par $C$.
Dans un repère orthonormé on a $A(-2;0.5)$ ; $B(1;2.5)$ et $(d): y = -\dfrac{3}{2}x+\dfrac{3}{4}$. Démontrer que $(d)$ est la médiatrice de $[AB]$.
Dans un repère orthonormé on a $A(-1;-3)$ $B(4;-1)$ et $C(11;-4)$. Déterminer, en justifiant précisément, les coordonnées du projeté orthogonal de $C$ sur $(AB)$.
On considère l'équation $(E) : x^2 + y^2 -4x + 2y -11 = 0$ et la droite $(d_m) : y + m = 0$ avec $m$ un paramètre réel.
Démontrer que $(E)$ est l'équation d'un cercle $(\mathcal{C})$ de centre $A$. Préciser les coordonnées de $A$ ainsi que le rayon du cercle.
Déterminer le nombre de points d'intersection entre $(\mathcal{C})$ et $(d_m)$ en fonction du paramètre $m$.
Déterminer les coordonnées des points d'intersection de $(\mathcal{C})$ et $(d_2)$ (c'est à dire pour $m=2$)
Dans un repère orthonormé on a $A(3;1)$ ; $B(1;6)$ et $C(-4;1)$.
Faire une figure que l'on complètera au fur et à mesure.
Déterminer une équation cartésienne de $(\Delta_1)$ médiatrice de $[AB]$. Tracer $(\Delta_1)$
Déterminer une équation cartésienne de $(\Delta_2)$ médiatrice de $[BC]$. Tracer $(\Delta_2)$
Déterminer les coordonnées du point d'intersection $P$ de $(\Delta_1)$ et $(\Delta_2)$.
Démontrer que les trois médiatrices sont concourantes en $P$. $P$ est le centre du cercle circonscrit $(\mathcal{C})$ au triangle $ABC$.
Démontrer que $(\mathcal{C}) : x^2 + y^2 +x - 5y - 8 = 0$. Tracer $(\mathcal{C})$.
Dans un repère othonormé on a $A(-2;1)$ et $B(6;-5)$ et $M(x;y)$ avec $x$ et $y$ deux variables réelles. On considère l'ensemble $(E)$ des points $M(x;y)$ défini par $(E) : \vecteur{MA}\cdot \vecteur{MB} = 0$
Démontrer que $(E) : x^2 + y^2 -4x + 4y - 17 = 0$
Démontrer que $(E)$ est l'équation cartésienne d'un cercle $(\mathcal{C})$. Préciser son centre $E$ et son rayon.
Que dire de $[AB]$ pour le cercle $(\mathcal{C})$ ? Justifier.
Démontrer que $K(2;-7) \in (\mathcal{C})$.
Démontrer que $ABK$ est rectangle. Préciser en quel point.
Déterminer une équation cartésienne de la hauteur issue de $K$ dans le triangle $ABK$. Justifier.
Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal $F$ de $K$ sur $(AB)$. Justifier.
Faire une figure complète.
On considère le cercle $\mathcal{C}_1$ de centre $A(-1;2)$ et de rayon $5$ et le cercle $\mathcal{C}_2$ de centre $B(2;1)$ et de rayon $\sqrt{5}$. Les points $C$ et $D$ sont les points d'intersection de $\mathcal{C}_1$ et $\mathcal{C}_2$.
Déterminer l'équation cartésienne de $\mathcal{C}_1$.
Déterminer l'équation cartésienne de $\mathcal{C}_2$.
Démontrer que $(CD): y = 3x -10$
En déduire les coordonnées de $C$ et $D$ en utilisant l'équation cartésienne de $\mathcal{C}_1$ et l'équation réduite de $(CD)$.
Démontrer que $(AB)$ est la médiatrice de $[CD]$.
Faire une figure précise et complète.
On considère le cercle $\mathcal{C}_1$ de centre $A(-3;2)$ et de rayon $4$ et le cercle $\mathcal{C}_2$ de centre $B(3;-4)$ et de rayon $\sqrt{40}$. Les points $C$ et $D$ sont les points d'intersection de $\mathcal{C}_1$ et $\mathcal{C}_2$.
Déterminer l'équation cartésienne de $\mathcal{C}_1$.
Déterminer l'équation cartésienne de $\mathcal{C}_2$.
Démontrer que $(CD): y = x + 1$
En déduire les coordonnées de $C$ et $D$ en utilisant l'équation cartésienne de $\mathcal{C}_1$ et l'équation réduite de $(CD)$.
Démontrer que $(AB)$ est la médiatrice de $[CD]$.
Faire une figure précise et complète.
On considère les points $B(2;2)$ ; $D(-4;0)$ et $E(-2;4)$. Soit la droite $(d)$ passant par $E$ et perpendiculaire à la droite $(DB)$. Soit $M$ le point d'intersection de $(d)$ et $(DB)$. vspace{5} On considère la droite $(\Delta)$ parallèle à $(EB)$ et passant par $D$. Soit $A$ le point d'intersection de $(d)$ et $(\Delta)$.
Déterminer les coordonnées de $M$. Expliquer très précisément la démarche.
Déterminer les coordonnées de $A$. Expliquer très précisément la démarche.
Donner la nature du quadrilatère $ABED$. Expliquer.
On considère le cercle $\mathcal{C}_1$ de centre $A(-3;2)$ et de rayon $4$ et le cercle $\mathcal{C}_2$ de centre $B(3;-4)$ et de rayon $\sqrt{40}$.
Déterminer par le calcul les coordonnées des points d'intersection $C$ et $D$ de $\mathcal{C}_1$ et $\mathcal{C}_2$. Justifier.
Démontrer que $(AB)$ est la médiatrice de $[CD]$.
Dans un repère othonormé on a $A(-2;1)$ et $B(6;-5)$ et $M(x;y)$ avec $x$ et $y$ deux variables réelles. On considère l'ensemble $(E)$ des points $M(x;y)$ défini par $(E) : \vecteur{MA}\cdot \vecteur{MB} = 0$
Démontrer que $(E) : x^2 + y^2 -4x + 4y - 17 = 0$
Démontrer que $(E)$ est l'équation cartésienne d'un cercle $(\mathcal{C})$. Préciser son centre $E$ et son rayon.
Que dire de $[AB]$ pour le cercle $(\mathcal{C})$ ? Justifier.
Démontrer que $K(2;-7) \in (\mathcal{C})$.
Démontrer que $ABK$ est rectangle. Préciser en quel point.
Déterminer une équation cartésienne de la hauteur issue de $K$ dans le triangle $ABK$. Justifier.
Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal $F$ de $K$ sur $(AB)$. Justifier.
Faire une figure complète.
Dans un repère othonormé on a $A(7;-1)$ et $B(-1;-3)$ et $M(x;y)$ avec $x$ et $y$ deux variables réelles. On considère l'ensemble $(E)$ des points $M(x;y)$ défini par $(E) : \vecteur{MA}\cdot \vecteur{MB} = 0$
Démontrer que $(E) : x^2 + y^2 -6x + 4y - 4 = 0$
Démontrer que $(E)$ est l'équation cartésienne d'un cercle $(\mathcal{C})$. Préciser son centre $E$ et son rayon.
Que dire de $[AB]$ pour le cercle $(\mathcal{C})$ ? Justifier.
Démontrer que $K(2;-6) \in (\mathcal{C})$.
Démontrer que $ABK$ est rectangle.
Déterminer une équation cartésienne de la hauteur issue de $K$ dans le triangle $ABK$.
Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal $F$ de $K$ sur $(AB)$
Faire une figure complète.