1G - P1 - Probabilités conditionnelles et indépendance
Arbre de probabilités et révision de classe de seconde. Union de deux évènements $A \cup B$ et intersection de deux évènements $A \cap B$.
On lance deux dés tétraèdriques, un rouge et un bleu, équilibrés et non truqués. On effectue la *{tdu::somme} du dé rouge plus le dé bleu. @vs5 On considère les évènements aléatoires suivants : @vs5 --b $A$ correspond à une somme qui est un nombre premier. @vs5 --b $B$ correspond à une somme impaire. @vs10
Décrire l'univers $\Omega$ de cette expérience aléatoire avec des issues *{tdu::et} des évènements élémentaires. Donner son cardinal.
Donner la loi de probabilités de cette expérience aléatoire. Justifier précisément.
Décrire $A$ avec des issues *{tdu::ou} des évènements élémentaires. Calculer sa probabilité.
Décrire $\overline{A}$ avec des issues *{tdu::ou} des évènements élémentaires. Calculer sa probabilité de *{tdu::deux} manières différentes.
Décrire $B$ avec des issues *{tdu::ou} des évènements élémentaires. Calculer sa probabilité.
Décrire $A \cap B$ avec des issues *{tdu::ou} des évènements élémentaires. Calculer sa probabilité.
Décrire $A \cup B$ avec des issues *{tdu::ou} des évènements élémentaires. Calculer sa probabilité de *{tdu::deux} manières différentes.
Arbre de probabilités et révision de classe de seconde. Union de deux évènements $A \cup B$ et intersection de deux évènements $A \cap B$.
On lance deux dés tétraèdriques, un rouge et un bleu, équilibrés et non truqués. On effectue la différence du dé rouge moins le dé bleu. @vs5 On considère les évènements aléatoires suivants : @vs5 --b $A$ correspond à une différence négative ou nulle. @vs5 --b $B$ correspond à une différence paire. @vs10
Décrire l'univers $\Omega$ de cette expérience aléatoire avec des issues *{tdu::et} des évènements élémentaires. Donner son cardinal.
Donner la loi de probabilités de cette expérience aléatoire. Justifier précisément.
Décrire $A$ avec des issues *{tdu::ou} des évènements élémentaires. Calculer sa probabilité.
Décrire $\overline{A}$ avec des issues *{tdu::ou} des évènements élémentaires. Calculer sa probabilité de *{tdu::deux} manières différentes.
Décrire $B$ avec des issues *{tdu::ou} des évènements élémentaires. Calculer sa probabilité.
Décrire $A \cap B$ avec des issues *{tdu::ou} des évènements élémentaires. Calculer sa probabilité.
Décrire $A \cup B$ avec des issues *{tdu::ou} des évènements élémentaires. Calculer sa probabilité de *{tdu::deux} manières différentes.
Arbre de probabilités pondéré, probabilité conditionelle, formules des probabilités totales
Pour chaque situation, déterminer les arbres de probabilités dans les deux sens.
Dans une population (qui ne comporte pas d'ambidextre naturel) il y a $20$ % de gauchers. Parmi les gauchers, il y a $30$ % de myopes et parmi les droitiers, $70$ % des personnes ne sont pas myopes. On choisit au hasard un habitant.
En France, $10$ % des voitures vendues sont électriques. Parmi les voitures électriques, $40$ % sont avec une boîte automatique et parmi les voitures non-électriques $60$ % sont avec une boîte manuelle. On choisit au hasard une voiture.
Une entreprise est spécialisée dans la fabrication de ballons de football. Cette entreprise propose deux tailles de ballons : une petite taille et une taille standard.
L'entreprise produit $40\%$ de ballons de football de petite taille et $60\%$ de ballons de taille standard. vspace{10} On admet que $2\%$ des ballons de petite taille et $5\%$ des ballons de taille standard ne sont pas conformes à la réglementation. On choisit un ballon au hasard dans l'entreprise. vspace{10} On considère les évènements :
$A$ : " le ballon de football est de petite taille ",
$B$ : " le ballon de football est de taille standard ",
$C$ : " le ballon de football est conforme à la réglementation " et $\overline{C}$, l'évènement contraire de $C$.
Représenter cette expérience aléatoire à l'aide d'un arbre de probabilités.
Calculer la probabilité que le ballon de football soit de petite taille et soit conforme à la réglementation.
Montrer que la probabilité de l'évènement $C$ est égale à $0,962$.
Le ballon de football choisi n'est pas conforme à la réglementation. Quelle est la probabilité que ce ballon soit de petite taille ? On arrondira le résultat à $10^{- 3}$.
Sophie a mis des dragées dans une boîte, les unes contiennent une amande, les autres pas : @vs5 --b 30 % des dragées contiennent une amande ; @vs5 --b 40 % des dragées avec amande sont bleues et les autres roses ; @vs5 --b 25 % des dragées sans amande sont roses et les autres bleues. @vs5 Sophie choisit au hasard une dragée dans la boîte et on considère les événements : @vs5 --b A: « La dragée choisie contient une amande. » @vs5 --b B: « La dragée choisie est bleue. » @vs10
Représenter la situation par un arbre pondéré
Montrer que $P(A \cap B) = 0.12$.
Calculer $P(B)$ puis en déduire $P_B(A)$.
Calculer $P_{\overline{B}}(A)$.
Sophie préfère les dragées contenant une amande. Doit-elle plutôt choisir une dragée bleue ou rose ?
Les évènements $A$ et $B$ sont-ils indépendants ? Justifier.
Pour une expérience aléatoire on a $(A,\overline{A})$ et $(B,\overline{B})$ deux partitions de l'univers et $P(A) = x$ ; $P_A(B) = a$ et $P_{\overline{A}}(\overline{B}) = b$ où $a$ ; $b$ et $x$ sont trois réels appartenant à $[0;1]$
Construire un arbre pondéré
Démontrer que $A$ et $B$ sont indépendants $\ssi$ $a+b = 1$
Dans une classe de Lycée (sans internat), il y a $45\%$ de filles. Parmi les garçons, $40\%$ sont externes et il y a $55\%$ de filles demi-pensionnaires. @vs5 On choisit un élève de cette classe au hasard et on note $E$ l'évènement aléatoire correspondant à un élève Externe et $F$ l'évènement aléatoire correspondant à une Fille. @vs10 *{italic::Toutes les réponses devront être justifiées avec précision.} @vs10
Construire un arbre pondéré représentant cette situation.
Calculer $P(F\cap E)$.
Calculer $P(E)$
Un jour de classe et à l'heure du déjeuner, on rencontre un élève de cette classe en dehors du Lycée. Quelle est la probabilité que cet élève soit une Fille ? (Arrondir au centième)
Est-ce indépendant d'être une Fille et Externe ?
Dans une population, on a (données fictives) : @vs5 --b $30\%$ des personnes ont les yeux Bleus (B), $25\%$ ont les yeux Verts (V) et le reste les yeux Marrons (M) ; @vs5 --b Parmi ceux qui ont les yeux bleus, $60\%$ sont des Garçons (G) ; @vs5 --b Parmi ceux qui ont les yeux verts, $30\%$ sont des Filles (F) ; @vs5 --b Il y a autant de Filles que de Garçons ayant les yeux marrons. @vs5 On choisit au hasard un habitant. @vs5
Représenter cette expérience aléatoire à l'aide d'un arbre de probabilités en commençant par les couleurs des yeux.
Calculer la probabilité que l'habitant soit une Fille avec des yeux bleus.
Calculer la probabilité que l'habitant soit un garçon.
Représenter cette expérience aléatoire à l'aide d'un arbre de probabilités dans l'autre sens.
Dans une population, on a (données fictives) : @vs5 --b $10\%$ des personnes sont intolérants au gluten (G) et le reste non; @vs5 --b Parmi les intolérants au Gluten, $20\%$ sont intolérants aux Lactose (L) ; @vs5 --b Parmi ceux qui ne sont pas intolérants au Gluten, $80\%$ ne sont pas intolérants aux Lactoses ; @vs5 On choisit au hasard un habitant. @vs5
Représenter cette expérience aléatoire à l'aide d'un arbre de probabilités en commençant par l'intolérance au Gluten (ou non).
Représenter cette expérience aléatoire à l'aide d'un arbre de probabilités dans l'autre sens.
*{bold::En cas de migraine} trois patients sur cinq prennent de l’aspirine (ou équivalent), deux sur cinq prennent un médicament M présentant des effets secondaires : @vs5 --b Avec l’aspirine, 75% des patients sont soulagés ; @vs5 --b Avec le médicament M, 90% des patients sont soulagés. @vs5 On choisit un patient au hasard ayant une migraine. @vs5
Représenter cette expérience aléatoire à l'aide d'un arbre de probabilités.
Calculer la probabilité que le patient ait pris de l'aspirine et soit soulagé.
Calculer la probabilité que le patient soit soulagé.
Le patient choisi n'est pas soulagé. Quelle est la probabilité qu'il est pris le médicament M ? On arrondira le résultat à $10^{- 3}$.
Est-ce indépendant que le patient ait pris de l'aspirine et que le patient soit soulagé ? Justifier.
Dans une population, on a (données fictives) : @vs5 --b $40\%$ des personnes portent des lunettes (L) et le reste non ; @vs5 --b Parmi ceux qui portent des lunettes, $60\%$ sont des Garçons (G) ; @vs5 --b Parmi ceux qui ne portent pas des lunettes, $30\%$ sont des Filles (F) @vs5 On choisit au hasard un habitant. @vs5
Représenter cette expérience aléatoire à l'aide d'un arbre de probabilités en commençant par les porteurs (ou non) de lunettes.
Calculer la probabilité que l'habitant soit une Fille qui ne porte pas de lunettes.
Calculer la probabilité que l'habitant soit un garçon.
Représenter cette expérience aléatoire à l'aide d'un arbre de probabilités dans l'autre sens.
Sophie a mis des dragées dans une boîte, les unes contiennent une amande, les autres pas : @vs5 --b 30 % des dragées contiennent une amande ; @vs5 --b 40 % des dragées avec amande sont bleues et les autres roses ; @vs5 --b 25 % des dragées sans amande sont roses et les autres bleues. @vs5 Sophie choisit au hasard une dragée dans la boîte et on considère les événements : @vs5 --b A: « La dragée choisie contient une amande. » @vs5 --b B: « La dragée choisie est bleue. » @vs10
Représenter la situation par un arbre pondéré
Montrer que $P(A \cap B) = 0.12$.
Calculer $P(B)$ puis en déduire $P_B(A)$.
Calculer $P_{\overline{B}}(A)$.
Sophie préfère les dragées contenant une amande. Doit-elle plutôt choisir une dragée bleue ou rose ?
Les évènements $A$ et $B$ sont-ils indépendants ? Justifier.