1G - G1 - Calcul vectoriel et produit scalaire
Dans un repère orthonormé, placer $A(-3;-1)$ ; $B(-2;1)$ ;
$C(-3;-5)$ ; $D(1;3)$ et $E(0;1)$
$(AB)$ et $(CD)$ sont-elles parallèles ?
Justifier.
Démontrer que $D$ ; $E$ et $C$ sont
alignés. En déduire que $\vecteur{EC}= -\dfrac{75}{100}\vecteur{CD}$
Démontrer que $ABDE$ est un parallélogramme.
On se place dans un repère orthonormé $(O;\vecteur{i};\vecteur{j})$. Dans ce repère, on considère les points
$M(-2;4)$ et $L(3;-2)$.vspace{10}*{tdu::Démontrer} que $\cvecteur{ML}{5}{-6}$. vspace{5}
*{bold::Le but de cet exercice est de démontrer la formule vue en cours et non de l'appliquer telle quelle.}
On se place dans un repère orthonormé $(O;\vecteur{i};\vecteur{j})$.
Soient $M(3;5)$ ; $L(7;1)$ et $P(5;3)$. Démontrer que $P$ est le milieu de $[LM]$.
Soient $A(-1;2)$ ; $B(8;-3)$ ; $E(2;-2)$ et $F(-7;3)$. Démontrer que $ABEF$ est un
parallélogramme.
Soient $H(-2;2)$ ; $K(-5;0)$ et $D(0;-5)$. Calculer les coordonnées du point $C$ pour que
$HKCD$ soit un parallélogramme.
Dans un repère orthonormé $(O,\vecteur{i},\vecteur{j})$, on considère les points $M(2;-1)$
; $A(1;2)$ ; $T(-4;1)$ ; $H(-3;-2)$ et $L(-1;0)$. @vs5
Démontrer que $MATH$ est un parallélogramme.
On considère les points $L(-65;2)$ ; $K(-42;5)$ et $M(43;-11)$. Déteminer les coordonnées
du point $A$ pour que $LAKM$ soit un parallélogramme.
On considère les vecteurs $\cvecteur{u}{\sqrt{10}}{\sqrt{8}}$ et
$\cvecteur{v}{\sqrt{5}}{2}$.
Démontrer que $\vecteur{u}$ et $\vecteur{v}$ sont colinéaires puis déterminer le nombre $k$ tel que
$\vecteur{u} = k\times \vecteur{v}$
Soient $A(2;3)$ ; $M(4;-1)$ ; $G(-2;-5)$ et $T(-2;-13)$. Déterminer le réel $k$, s'il
existe, tel que $\vecteur{GA} = k\times \vecteur{MT}$
On considère les vecteurs $\cvecteur{u}{\sqrt{72}}{-2}$ et $\cvecteur{v}{-4}{\sqrt{2}}$.
Déterminer le réel $k$, s'il existe, tel que $\vecteur{u} = k\times \vecteur{v}$
On considère les vecteurs $\cvecteur{u}{3}{\sqrt{45}}$ et $\cvecteur{v}{\sqrt{5}}{5}$.
Déterminer le réel $k$, s'il existe, tel que $\vecteur{u} = k\times \vecteur{v}$
Dans un repère orthonormé, placer $A(1;2)$ ; $B(-1;1)$ ;
$C(-2;-4)$ ; $D(4;-1)$ et $E(2;-2)$
$(AB)$ et $(CD)$ sont-elles parallèles ?
Justifier.
Démontrer que $D$ ; $E$ et $C$ sont
alignés. En déduire que $\vecteur{EC}= -\dfrac{2}{3}\vecteur{CD}$
Démontrer que $ABED$ est un parallélogramme.
On considère les vecteurs $\cvecteur{u}{\sqrt{32}}{\sqrt{4}}$ et
$\cvecteur{v}{\sqrt{16}}{\sqrt{2}}$.vspace{10}
Démontrer que $\vecteur{u}$ et $\vecteur{v}$ sont colinéaires puis déterminer le nombre $k$ tel que
$\vecteur{u} = k\times \vecteur{v}$
Dans un repère orthonormé, placer $A(-3;-1)$ ; $B(-2;1)$ ;
$C(-3;-5)$ ; $D(1;3)$ et $E(0;1)$
$(AB)$ et $(CD)$ sont-elles parallèles ?
Justifier.
Démontrer que $D$ ; $E$ et $C$ sont
alignés. En déduire que $\vecteur{EC}= -\dfrac{75}{100}\vecteur{CD}$
Démontrer que $ABED$ est un parallélogramme.
On considère les points $K(27;-5)$ ; $A(-5;13)$ et $S(7;-12)$. Déterminer les
coordonnnes du point $D$ pour $KADS$ soit un parallélogramme.
Dans $ABC$ on a $AB = 10$ ; $BC = 8$ et $AC = 5$. Déterminer $\vecteur{BC} \cdot \vecteur{AC}$
$ABC$ est un triangle rectangle-isocèle en B d'aire $8$ u.a. Déterminer $\vecteur{AB} \cdot \vecteur{AC}$
On considère un triangle $TRE$ équilatéral de périmètre $10$. Déterminer $\vecteur{TR}\cdot
\vecteur{RE}$.
On considère un triangle $EFG$ rectangle en $F$ tel que $EF=4$ et $FG=6$. Déterminer
$\vecteur{EF}\cdot \vecteur{GE}$.
On considère un triangle $EFG$ rectangle isocèle en $F$ tel que $EF=5$. Déterminer
$\vecteur{EF}\cdot \vecteur{GE}$.
On considère un triangle $TRE$ rectangle-isocèle en $R$ tel que $RT = 2$. Démontrer,
*{bold::de deux manières différentes}, que $\vecteur{RE}\cdot \vecteur{ET} = -4$.
On considère un triangle $EFG$ tel que $EF=3$ ; $EG=5$ et $\widehat{GEF} = 60°$. Calculer
$FG$.
On considère deux vecteurs $\vecteur{u}$ et $\vecteur{v}$ tels que $\vecteur{v} = k\vecteur{u}$ avec $k \in
\R^*$ ($\vecteur{u}$ et $\vecteur{v}$ sont colinéaires).
Démontrer que $\Big|\Big| \vecteur{v} \Big|\Big| ^2 = k^2\times
\Big|\Big| \vecteur{u}\Big|\Big|^2$
Démontrer que $\Big|\Big| \vecteur{u} + \vecteur{v} \Big|\Big| ^2 =
(1+k)^2\times \Big|\Big| \vecteur{u}\Big|\Big|^2$
Si $k > 0$, démontrer que $\Big|\Big| \vecteur{u} \Big|\Big|
\times \Big|\Big| \vecteur{v} \Big|\Big| = k\times \Big|\Big| \vecteur{u}\Big|\Big|^2$
Si $k < 0$, démontrer que $\Big|\Big| \vecteur{u} \Big|\Big|
\times \Big|\Big| \vecteur{v} \Big|\Big| = -k\times \Big|\Big| \vecteur{u}\Big|\Big|^2$
Si $k > 0$, en utilisant la formule avec les normes, démontrer
que $\vecteur{u}\cdot \vecteur{v} = \Big|\Big| \vecteur{u} \Big|\Big| \times \Big|\Big| \vecteur{v}
\Big|\Big|$
Si $k < 0$, en utilisant la formule avec les normes, démontrer
que $\vecteur{u}\cdot \vecteur{v} = -\Big|\Big| \vecteur{u} \Big|\Big| \times \Big|\Big| \vecteur{v}
\Big|\Big|$
Recopier et compléter la propriété suivante : @vs5
--b si $\vecteur{u}$ et $\vecteur{v}$ sont colinéaires et dans le même sens alors $\vecteur{u}\cdot
\vecteur{v} = \ldots$ @vs10
--b si $\vecteur{u}$ et $\vecteur{v}$ sont colinéaires et de sens opposé alors $\vecteur{u}\cdot
\vecteur{v} = \ldots$
On considère trois vecteurs $\cvecteur{u}{x_1}{y_1}$ ; $\cvecteur{v}{x_2}{y_2}$ et $\cvecteur{w}{x_3}{y_3}$
dans un repère orthonormé. On pose $\vecteur{n} = \vecteur{u} + \vecteur{v}$ @vs10
*{bold::La question n°1 est indépendante des autres.}
Démontrer que $\vecteur{u} \cdot \vecteur{v} = \vecteur{v} \cdot
\vecteur{u}$
Déterminer les coordonnées de $\vecteur{n}$
Calculer $\vecteur{n} \cdot \vecteur{w}$ (formule avec les
coordonnées)
Calculer $\vecteur{u} \cdot \vecteur{w} + \vecteur{v} \cdot
\vecteur{w}$
Recopier et compléter la propriété suivante : @vs5
$\Big(\vecteur{u} + \vecteur{v} \Big)\cdot \vecteur{w} = \vecteur{w} \cdot \Big(\vecteur{u} +
\vecteur{v} \Big) = \ldots$
On considère considère un triangle $ABC$ n'ayant que des angles aigus. Soit $H$ le projeté orthogonal de $B$
sur $(AC)$. @vs10
*{bold::Toutes les réponses doivent être justifiées avec précision.}
Faire une figure.
Démontrer que $(BH)$ est la hauteur de $ABC$ issue de $B$.
Démontrer que $\vecteur{AC} \cdot \vecteur{AB} = \vecteur{AC} \cdot
\vecteur{AH}$ (voir ex n°2)
En déduire que $\vecteur{AC} \cdot \vecteur{AB} = AC \times AH$
(voir ex n°1)
Démontrer que $AH = AB \times
\cos{\Big(\vecteur{AC},\vecteur{AB}\Big)}$
Recopier et compléter la propriété suivante :
$\vecteur{AC} \cdot \vecteur{AB} = \ldots$
Dans un repère orthonormé
$\Big(O;\vecteur{i};\vecteur{j}\Big)$
on a $A(-6;-1)$ ; $B(-4;-4)$ ;
$C(2;0)$ et $D(0;3)$. @vs10
*{tdu::Démontrer} que le quadrilatère $ABCD$ est un rectangle.
On considère un triangle $MLR$ isocèle-rectangle en $M$ tel que $ML = 5$. Calculer $\vecteur{RM}\cdot
\vecteur{RL}$.
Dans un repère orthonormé
$\Big(O;\vecteur{i};\vecteur{j}\Big)$
on a $A(-3;2)$ ; $B(-1;-4)$ ;
$C(5;-2)$ ; $D(3;4)$ et $E(1;0)$. @vs10
*{tdu::Démontrer} que le quadrilatère $ABCD$ est un carré de centre $E$.
On considère un triangle $EFG$ équilatéral de périmètre $\sqrt{27}$. Calculer $\vecteur{FE}\cdot
\vecteur{GE}$.
Dans un repère orthonormé $(O,\vecteur{i},\vecteur{j})$, on a $A(-3;1)$ ; $B(-2;-1)$ ; $C(2;-1)$ et
$D(-4;-4)$.
Est-ce que les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont perpendiculaires ? Justifier précisément.
Dans un repère orthonormé $\Big(O;\vecteur{i};\vecteur{j}\Big)$ on a $A(-4;-2)$ ; $B(-1;-4)$ ; $C(4;-3)$.
Tracer le repère et placer ces points.
Déterminer les coordonnées d'un point $D$ pour que $ABCD$ soit un parallélogramme.
Justifier. Tracer $ABCD$.
Soit $E$ le symétrique de $C$ par rapport à $D$. Déterminer, en justifiant, les coordonnées
du point $E$. Placer $E$.
Démontrer que $ABDE$ est un carré de centre $M$. Déterminer les coordonnées de $M$. Tracer
$ABDE$ puis placer $M$.
Démontrer que $\vecteur{CE}$ et $\vecteur{AB}$ sont colinéaires puis déterminer le réel $k$
tel que $\vecteur{AB} = k\times \vecteur{CE}$.
Dans le triangle $EFG$ quelconque (non rectangle, non isocèle) on considère $A$ le milieu de $[EG]$ et $B$
est le
milieu de $[EF]$
Faire une figure en indiquant bien les codages.
Démontrer que $(AB) // (GF)$
On considère un triangle $TRE$ équilatéral de périmètre $15$. Déterminer, *{bold::de deux
manières différentes}, $\vecteur{TR}\cdot \vecteur{RE}$.
Déterminer si les vecteurs $\cvecteur{u}{-\sqrt{3}}{\sqrt{45}}$ et
$\cvecteur{v}{-\sqrt{5}}{5\sqrt{3}}$ sont colinéaires. Si oui, déterminer le réel $k$ tel que
$\vecteur{u} = k\vecteur{v}$.
Soient $A(-1;2)$ , $B(-3;5)$ , $C(3;4)$ et $D(-1;10)$. Tracer $(AB)$
et $(CD)$. Les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont-elles parallèles ? Justifier.
Déterminer si les points $C(\pi;\pi)$ , $D(1;2+\pi)$ et
$H(2\pi-1;\pi-2)$ sont alignés. Justifier.
On considère les points $A(2;12)$ ; $B(5;3)$ ; $C(2,5;8)$ et
$D(1;5)$. Tracer $(AB)$ et $(CD)$ puis déterminer les coordonnées du point d'intersection de $(AB)$ et
$(CD)$ (en utilisant les équations cartésiennes). Vérifier graphiquement.
Soient $A(2;1)$ , $B(4;0)$ et $C(3;3)$ dans le repère orthonormé
$(O;\vecteur{OI};\vecteur{OJ})$.
a. Expliquer pourquoi
$(A;\vecteur{AB};\vecteur{AC})$ forme un autre repère du plan.
b. Dans le repère
$(A;\vecteur{AB};\vecteur{AC})$ , le point $D$ a pour coordonnées $(1;-1)$. Quelles sont les coordonnées
de $D$ dans $(O;\vecteur{OI};\vecteur{OJ})$ ?
c. Dans le repère
$(O;\vecteur{OI};\vecteur{OJ})$ , le point $E$ a pour coordonnées $(6;-1)$. Quelles sont les coordonnées
de $E$ dans$(A;\vecteur{AB};\vecteur{AC})$ ?
Soit $ABC$ un triangle où $A(11;2)$ ; $B(3;-2)$ et $C(1;6)$.@vs5 $M$ et $N$ sont les milieux respectifs des
côtés $[AB]$ et $[AC]$.
@vs5 Soit $G$ défini par $\vecteur{GA} + \vecteur{GB} + \vecteur{GC}=\vecteur{0}$.
Montrer que $\vecteur{AG} = \dfrac{1}{3}\vecteur{AB} + \dfrac{1}{3}\vecteur{AC}$.
Calculer les coordonnées du point $G$.
Calculer les coordonnées du point $M$.
Calculer les coordonnées de $N$.
Montrer que les vecteurs $\vecteur{BG}$ et $\vecteur{BN}$ sont colinéaires. Que peut-on en
déduire ?
Montrer que les points $C$, $G$ et $M$ sont alignés.
Que représente le point $G$ pour le triangle $ABC$ ? Justifier
On considère les points : @vs5
--b $A(3;7)$ ; $B(-3;3)$ et $C(7;-5)$ @vs5
--b $M$, $N$ et $P$ les milieux respectifs de $[BC]$, $[AC]$ et $[AB]$. @vs5
--b $S$ symétrique de $M$ par rapport à $B$. @vs5
--b $G$ et $H$ définis par $\vecteur{AG} = \dfrac{3}{4}\vecteur{AB}$ et $\vecteur{AH} =
\dfrac{3}{4}\vecteur{AC}$
Faire une figure.
Calculer les coordonnées du point $M$.
Calculer les coordonnées de $N$ et $P$.
Calculer les coordonnées de $S$.
Calculer les coordonnées de $G$ et $H$.
Montrer que les droites $(MH)$ et $(SP)$ sont parallèles.
Montrer que les points $S$, $G$ et $N$ sont alignés.
Soient $A(-3;-2)$, $B(7;3)$ et $C(-2;1)$.
On considère les points $M$, $N$ et $P$ définis par : @vs5
--b $3\vecteur{MA} +2\vecteur{MB} = \vecteur{0}$ @vs5
--b $3\vecteur{NA} - 2\vecteur{NC} = \vecteur{0}$ @vs5
--b $\vecteur{PB}+\vecteur{PC}=\vecteur{0}$
Déterminer les coordonnées des points $M$, $N$ et $P$.
Démontrer que les points $M$, $N$ et $P$ sont alignés.
Soient les points $A(-1;3)$, $B(7;8)$ et $C(2;4)$.
Soit $M (x;0)$ un point de l'axe des abscisses.
Calculer $x$ pour que $A$, $B$ et $M$ soient alignés.
Soit $N(0; y)$ un point de l'axe des ordonnées.
Calculer $y$ pour que les droites $(AB)$ et $(CN)$ soient
parallèles.
On considère les points $A(-27;18)$ , $B(-11;9)$,
$C(8;-2)$ et $D(15;-6)$. @vs5
Parmi les points $A$, $B$, $C$ et $D$ lesquels sont alignés ? Justifier.
Dans le repère $R_1 = (O; \vecteur{i};\vecteur{j})$, on a $A(-3;-1)$ ; $B(-2;-3)$ et $C(-1;0)$.
Démontrer que $R_2 = (A; \vecteur{AB};\vecteur{AC})$ est un autre repère orthonormé.
Dans $R_2$, on a $D(1;1)$. Déterminer les coordonnées de $D$ dans $R_1$.
En utilisant la formule avec les coordonnées, calculer $\vecteur{AB} \cdot \vecteur{AD}$.
Démontrer que $ABD$ est un triangle rectangle-isocèle en $B$.
En utilisant la formule avec le cosinus, calculer $\vecteur{AB} \cdot \vecteur{AD}$.
On considère un triangle $EFG$ équilatéral de périmètre $1$. Calculer *{tdu::de deux manières différentes}
$\vecteur{EF} \cdot \vecteur{EG}$.
Dans un repère orthonormé
$\Big(O;\vecteur{i};\vecteur{j}\Big)$
on a $A(-3;2)$ ; $B(-1;-4)$ ;
$C(5;-2)$ ; $D(3;4)$ et $E(1;0)$. @vs10
*{tdu::Démontrer} que le quadrilatère $ABCD$ est un carré de centre $E$.
On considère le triangle $ABC$ tel que $AB = x$ ; $BC = x+1$ et $AC = x+2$ avec $x > 0$
Calculer $\vecteur{BA} \cdot \vecteur{CB}$ en fonction de $x$.
Démontrer que $x^2 - 2x - 3 = (x+1)(x-3)$
Démontrer que : $\vecteur{BA} \perp \vecteur{CB}$ $\ssi$ $x = -1$
ou
$x=3$
En déduire que le triangle $ABC$ est rectangle en $B$ pour $AB =
3$ ;
$BC = 4$ et $AC = 5$.
Un triplet pythagoricien $(a,b,c)$ correspond à trois nombres
entiers
naturels
tels que $c^2 = a^2 + b^2$. Quel est le seul triplet pythagoricien composé de trois entiers naturels
consécutifs ?
Dans un repère orthonormé
$\Big(O;\vecteur{i};\vecteur{j}\Big)$
on a $A(-3;2)$ ; $B(-1;-4)$ ;
$C(5;-2)$ ; $D(3;4)$.
Faire une figure.
Démontrer que $ABCD$ est un parallélogramme.
Calculer $\vecteur{AC} \cdot \vecteur{DB}$. Que peut on en déduire
concernant le parallélogramme $ABCD$ ? Justifier précisément.
Calculer $\vecteur{AD} \cdot \vecteur{CD}$. Que peut on en déduire
concernant le parallélogramme $ABCD$ ? Justifier précisément.
Conclure.
On considère le triangle $EFG$ tel que $EF = 2x$ ; $FG = 2x+2$ et $EG = 2x+4$ avec $x > 0$
Calculer $\vecteur{FE} \cdot \vecteur{GF}$ en fonction de $x$.
Démontrer que $-2x^2 + 4x + 6 = -2(x+1)(x-3)$
Démontrer que : $\vecteur{FE} \perp \vecteur{GF}$ $\ssi$ $x = -1$
ou
$x=3$
En déduire les longueurs des côtés de $EFG$ pour que le triangle
$EFG$
soit rectangle en $F$.
Dans un repère orthonormé
$\Big(O;\vecteur{i};\vecteur{j}\Big)$
on a $I(2;1)$ ; $A(5;1)$ ;
$B(-1;1)$. On considère le cercle $(\mathcal{C})$ de centre $I$ et de rayon $3$. Soit $M(x;y) \in
(\mathcal{C})$
Faire une figure complète.
Démontrer que $[AB]$ est un diamètre de $(\mathcal{C})$.
Calculer $\vecteur{MA} \cdot \vecteur{MB}$ en fonction de $x$ et
$y$.
Démontrer que $AMB$ est rectangle en $M$.
En déduire que : $M(x;y) \in (\mathcal{C})$ $\ssi$ $(x-2)^2 +
(y-1)^2 =
3^2$
Dans un repère orthonormé $(O,\vecteur{i},\vecteur{j})$ on place $A(-4;-3)$ ; $B(4;1)$ ; $C(-2;-2)$ et
$D(-5;4)$.
On considère la droite $(d_1) : y = \dfrac{1}{2}x - 1$.
Tracer le repère et placer les points.
Démontrer que les points $A$, $B$ et $C$ sont alignés.
Démontrer $A \in (d_1)$ et $B \in (d_1)$. Tracer $(d_1)$.
On considère la droite $(d_2)$ telle que $(d_1) \perp (d_2)$ et $C \in (d_2)$. Déterminer
l'équation réduite de $(d_2)$. Justifier précisément.
Démontrer que $C$ est le projeté orthogonal de $D$ sur $(AB)$.
Démontrer que $\vecteur{AB} \cdot \vecteur{AD} = \vecteur{AC} \cdot \vecteur{AB}$
Dans un repère orthonormé
$\Big(O;\vecteur{i};\vecteur{j}\Big)$
on a $A(-4;-2)$ ; $B(-1;-5)$ ;
$C(2;-2)$ ; $D(-1;1)$ et $E(-1;-2)$. @vs10
*{tdu::Démontrer} que le quadrilatère $ABCD$ est un carré de centre $E$.
Dans le repère $R_1 = (O; \vecteur{i};\vecteur{j})$, on a $A(2;-1)$ ; $B(2;-2)$ et $C(1;-1)$.
Démontrer que $R_2 = (A; \vecteur{AB};\vecteur{AC})$ est un autre repère orthonormé.
Dans $R_2$, on a $D(2;1)$. Déterminer les coordonnées de $D$ dans $R_1$.
Dans $R_1$, calculer $\vecteur{AB} \cdot \vecteur{AD}$.
Dans $R_2$, calculer $\vecteur{AB} \cdot \vecteur{AD}$.
Démontrer que $CBD$ est un triangle rectangle-isocèle en $B$.
Dans un repère orthonormé, on considère les points $A$ ; $B$ ; $C$ ; $D$ et $E$ tels
que
$\vecteur{AB} = -2\vecteur{AC}$ et $\vecteur{AD} = -2\vecteur{AE}$. @vs5
Démontrer que les droites $(BD)$ et $(CE)$ sont parallèles.
Dans un repère orthonormé, on considère les points $A$ ; $B$ ; $C$ ; $D$ et $E$ tels
que
$2\vecteur{AB} = 4\vecteur{CA}$ et $\dfrac{1}{2}\vecteur{AD} + \vecteur{AE} = \vecteur{0}$. @vs5
Démontrer que les droites $(BD)$ et $(CE)$ sont parallèles.
On considère $ABC$ rectangle-isocèle en $A$ d'aire $8$ u.a. Déterminer, en justifiant précisément,
$\vecteur{BC}
\cdot \vecteur{AC}$
Dans un repère orthonormé
$\Big(O;\vecteur{i};\vecteur{j}\Big)$
on a $A(-3;2)$ ; $B(-1;-4)$ ;
$C(5;-2)$ ; $D(3;4)$.
Faire une figure.
Démontrer que $ABCD$ est un parallélogramme.
Calculer $\vecteur{AC} \cdot \vecteur{DB}$. Que peut on en déduire
concernant le parallélogramme $ABCD$ ? Justifier précisément.
Calculer $\vecteur{AD} \cdot \vecteur{CD}$. Que peut on en déduire
concernant le parallélogramme $ABCD$ ? Justifier précisément.
Conclure.
On considère le triangle $ABC$ tel que $AB = x$ ; $BC = x+1$ et $AC = x+2$ avec $x > 0$
Calculer $\vecteur{BA} \cdot \vecteur{CB}$ en fonction de $x$.
Démontrer que $x^2 - 2x - 3 = (x+1)(x-3)$
Démontrer que : $\vecteur{BA} \perp \vecteur{CB}$ $\ssi$ $x = -1$
ou
$x=3$
En déduire que le triangle $ABC$ est rectangle en $B$ pour $AB =
3$ ;
$BC = 4$ et $AC = 5$.
Un triplet pythagoricien $(a,b,c)$ correspond à trois nombres
entiers
naturels
tels que $c^2 = a^2 + b^2$. Quel est le seul triplet pythagoricien composé de trois entiers naturels
consécutifs ?
On considère le triangle $EFG$ tel que $EF = 2x$ ; $FG = 2x+2$ et $EG = 2x+4$ avec $x > 0$
Calculer $\vecteur{FE} \cdot \vecteur{GF}$ en fonction de $x$.
Démontrer que $-2x^2 + 4x + 6 = -2(x+1)(x-3)$
Démontrer que : $\vecteur{FE} \perp \vecteur{GF}$ $\ssi$ $x = -1$
ou
$x=3$
En déduire les longueurs des côtés de $EFG$ pour que le triangle
$EFG$
soit rectangle en $F$.
Dans un repère orthonormé
$\Big(O;\vecteur{i};\vecteur{j}\Big)$
on a $I(2;1)$ ; $A(5;1)$ ;
$B(-1;1)$. On considère le cercle $(\mathcal{C})$ de centre $I$ et de rayon $3$. Soit $M(x;y) \in
(\mathcal{C})$
Faire une figure complète.
Démontrer que $[AB]$ est un diamètre de $(\mathcal{C})$.
Calculer $\vecteur{MA} \cdot \vecteur{MB}$ en fonction de $x$ et
$y$.
Démontrer que $AMB$ est rectangle en $M$.
En déduire que : $M(x;y) \in (\mathcal{C})$ $\ssi$ $(x-2)^2 +
(y-1)^2 =
3^2$
Dans un repère orthnormé $(0;\vecteur{i},\vecteur{j})$, on a $A(1;-2)$ ; $E(4;5)$ ;
$\cvecteur{a}{-2}{6}$ et $\cvecteur{b}{3}{-2}$. @vs5
On considère la droite $(d)$ de vecteur *{tdu::normal} $\vecteur{a}$ passant par $A$. @vs5
On considère la droite $(\Delta)$ de vecteur *{tdu::directeur} $\vecteur{b}$ passant par $E$. @vs5
Déterminer l'équation réduite de la droite $(d)$.
Déterminer l'équation réduire de la droite $(\Delta)$.
Démontrer que les droites $(d)$ et $(\Delta)$ sont sécantes.
Déterminer, par le calcul, les coordonnées du point $D$
d'intersection de $(d)$ et $(\Delta)$.
Faire une figure complète. Justifier précisément notamment la
construction des droites $(d)$ et $(\Delta)$.
Dans un repère orthonormé
$\Big(O;\vecteur{i};\vecteur{j}\Big)$
on a $A(-4;-2)$ ; $B(-1;-5)$ ;
$C(2;-2)$ ; $D(-1;1)$ et $E(-1;-2)$. @vs10
*{tdu::Démontrer} que le quadrilatère $ABCD$ est un carré de centre $E$.
Dans un repère orthonormé $(O,\vecteur{i},\vecteur{j})$ on place $A(-4;-3)$ ; $B(4;1)$ ; $C(-2;-2)$ et
$D(-5;4)$.
On considère la droite $(d_1) : y = \dfrac{1}{2}x - 1$.
Tracer le repère et placer les points.
Démontrer que les points $A$, $B$ et $C$ sont alignés.
Démontrer $A \in (d_1)$ et $B \in (d_1)$. Tracer $(d_1)$.
On considère la droite $(d_2)$ telle que $(d_1) \perp (d_2)$ et $C \in (d_2)$. Déterminer
l'équation réduite de $(d_2)$. Justifier précisément.
Démontrer que $C$ est le projeté orthogonal de $D$ sur $(AB)$.
Démontrer que $\vecteur{AB} \cdot \vecteur{AD} = \vecteur{AC} \cdot \vecteur{AB}$
Dans un repère orthonormé, on considère $\cvecteur{u_1}{x_1}{y_1}$ ; $\cvecteur{u_2}{x_2}{y_2}$ ;
$\cvecteur{u_3}{x_3}{y_3}$ et $\cvecteur{u_4}{x_4}{y_4}$. @vs5
Démontrer que : @vs5$\Big( \vecteur{u_1} + \vecteur{u_2} \Big) \cdot \Big( \vecteur{u_3} +
\vecteur{u_4}\Big) =
\vecteur{u_1} \cdot \vecteur{u_3} + \vecteur{u_1} \cdot \vecteur{u_4} + \vecteur{u_2} \cdot \vecteur{u_3} +
\vecteur{u_2} \cdot \vecteur{u_4}$
$F$ est le projeté othogonal de $T$ sur $(EA)$ (avec $T \cancel{\in} (EA)$). @vs5
Démontrer que : $\vecteur{EF}\cdot \vecteur{EA} = \vecteur{ET} \cdot \vecteur{EA}$
Dans un repère orthonormé on a $E(-7;-2)$ et $T(-3;4)$.
Déterminer, en justifiant précisément, l'équation réduite de la médiatrice $(d)$ de $[ET]$