1G - A1 - Suite numérique
Démonstration par récurrence
Démontrer par récurrence les propriétés $P(n)$ pour $n \in \N$ suivantes :
$P(n) : \big| x^n\big| = \big| x\big|^n$ pour $x \;\cancel{=} \; 0$
$P(n) : \big( a\times b\big)^n = a^n \times b^n$ pour $a,b \;\cancel{=} \; 0$
$P(n) : S_n = 0 + 1 + 2 + 3 + \cdots + n = \dfrac{n(n+1)}{2}$
$P(n) : \big(1+x)^n \geqslant 1 +nx$ pour $x \in \R$
$P(n) : S_n = 0.5^0 + 0.5^1 + 0.5^2 + 0.5^3 + \cdots + 0.5^n = 2 - 2 \times 0.5^{n+1}$
On considère la suite numérique $(a_n)$ telle que : @vs5 --b $a_n = \dfrac{n}{n+1}$ pour tout $n \in \N$ @vs10
Dans un repère, placer les points de coordonnées $(0;a_0)$ ; $(1;a_1)$ ; $(2;a_2)$ et $(3;a_3)$.
Faire une conjecture concernant la monotonie de $(a_n)$.
Démontrer cette conjecture.
On considère la suite numérique $(b_n)$ telle que : @vs5 --b $b_{n+1} = 2b_n - 1$ pour tout $n \in \N$ et $b_0 = 0$ @vs10
Dans un repère, placer les points de coordonnées $(0;b_0)$ ; $(1;b_1)$ ; $(2;b_2)$ et $(3;b_3)$.
Démontrer par récurrence que la suite $(b_n)$ est décroissante. On pourra poser la propriété $P(n) : b_{n+1} < b_n$ pour tout $n \in \N$
On considère la suite numérique $(a_n)$ telle que : @vs5 --b $a_n = -2n^2 + 2$ pour tout $n \in \N$ @vs10
Dans un repère, placer les points de coordonnées $(0;a_0)$ ; $(1;a_1)$ ; $(2;a_2)$ et $(3;a_3)$.
Faire une conjecture concernant la monotonie de $(a_n)$.
Démontrer cette conjecture.
On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 2$ et $u_{n+1} = 2u_n -3$ pour tout $n \in \N$.
Soit la suite $(v_n)$ définie pour tout entier $n$ par $v_n = u_n - 3$.
Calculer $u_1$ et $u_2$.
Démontrer que $(u_n)$ n'est ni une suite arithmétique ni une suite géométrique.
Démontrer que la suite $(v_n)$ est une suite géométrique.
Déterminer la forme explicite de la suite $(u_n)$.
Démontrer que $(u_n)$ est décroissante.
Déterminer, le plus petit entier $n$ tel que $u_n \leqslant -60$.
Écrire un programme en Python permettant de déterminer le plus petit entier $n$ pour que $u_n \leqslant -60$. Retrouver la valeur de la question précédente.
On considère la suite $(a_n)$ définie par $a_0 = 1$ et $a_{n+1} = 2a_n + 5$ pour tout $n \in \N$.
Soit la suite $(b_n)$ définie pour tout entier $n$ par $b_n = a_n + 5 $.
Calculer $a_1$ ; $a_2$ et $a_3$.
Démontrer que $(a_n)$ n'est ni une suite arithmétique ni une suite géométrique.
Démontrer que la suite $(b_n)$ est une suite géométrique.
Déterminer la forme explicite de la suite $(a_n)$.
Démontrer que $(a_n)$ est croissante.
Déterminer, le plus petit entier $n$ tel que $a_n \geqslant 180$.
Écrire un programme en Python permettant de déterminer le plus petit entier $n$ pour que $a_n \geqslant 180$. Retrouver la valeur de la question précédente.
On lâche une balle en caoutchouc d'une hauteur $h_0 > 0$. À chaque rebond sa hauteur diminue de $10\%$.
Déterminer le nombre de rebonds à partir duquel la hauteur de cette balle est la moitiè de la hauteur initiale.
Écrire un programme en Python permettant de déterminer ce nombre de rebonds. On pourra prendre $h_0 = 120$ cm.
@vs10
*{tdu::Indications} : @vs5 --b On pourra considèrer une suite $(h_n)$ dont le terme $h_n$ correspond à la hauteur de la balle après le rebond n°$n$ ; @vs5 --b On pourra alors démontrer que $(h_n)$ est une suite géométrique et *{bold::décroissante}.
Une entreprise d'impression de photos propose un abonnement annuel à ses clients qui coute 45 euros. Avec cet abonnement, le client paye 5 centimes par photo qu'il veut imprimer. On note $u_n$ le prix que paye le client pour l'abonnement et l'impression de $n$ photos.
Exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
Combien le client paye-t-il pour imprimer 15 photos ?
S'il a payé 98 euros, combien de photos a-t-il imprimées ?
On peut montrer que deux suites sont égales, en montrant qu'elles ont le même premier terme et qu'elles suivent la même relation de récurrence. On considère la suite $(u_n)$ définie sur $\N$ par $u_n =2^n -1$. @vs5 On considère la suite $(v_n)$ définie par $v_0 = 0$ et, pour tout $n \in \N$, $v_{n+1} = 2v_n + 1$. @vs5 On veut montrer que les deux suites $(u_n)$ et $(v_n)$ sont égales.
Calculer les trois premiers termes de chaque suite.
Montrer que, pour tout entier n, on a $u_{n+1} = 2u_n + 1$
Conclure.
Au début de l'année, le premier janvier, les cheveux d'une personne mesurent 10 centimètres. Chaque mois, ses cheveux poussent de 9 millimètres.
Quelle est la longueur de ses cheveux au premier février, au premier mars ?
On veut modéliser cette évolution par une suite numérique $(I)$. Donner les caractéristiques de cette suite.
Que représente $I_1$ dans le contexte de l'exercice ? Déterminer ce terme.
Que représente $I_2$ dans le contexte de l'exercice ? Déterminer ce terme.
Déterminer la relation de récurrence de cette suite.
Déterminer la forme explicite de cette suite.
Expliquer pourquoi cette suite est croissante ?
Au bout de combien de temps, la longueur de ses cheveux aura doublée.
On suppose que la température de l'air diminue de $0.6$ °C tous les 100 mètres. On prendra $25$ °C comme température au niveau de la mer. @vs10 On veut modéliser cette évolution par une suite numérique $(t_n)$. Le terme $t_n$ est la température de l'air à $100\times n$ mètres d'altitude.
Que vaut $t_0$. Expliquer.
Que représente $t_1$ dans le contexte de l'exercice ? Déterminer ce terme.
Que représente $t_2$ dans le contexte de l'exercice ? Déterminer ce terme.
Déterminer la relation de récurrence de cette suite.
Faire une conjecture sur la forme explicite de cette suite. Démontrer par récurrence cette conjecture.
Démontrer que cette suite est décroissante.
A quelle altitude, la température de l'air sera en dessous de $0$ °C.
Les services de la mairie d'une ville ont étudié l'évolution de la population de cette ville. Chaque année, $15\%$ de la population quitte la ville et $1\;500$ personnes s'y installent. En $2022$, la ville comptait $20\;000$ habitants. @vs10 On note $u_n$ le nombre d'habitants de la ville pour l'année $2022+n$. On a donc $u_0 = 20\;000$ @vs10
Calculer $u_1$ et $u_2$.
Calculer $u_3$. Que représente $u_3$ dans le contexte de l'exercice ?
Déterminer la forme récurrente de $(u_n)$. Justifier.
Démontrer par récurrence que la forme explicite de $(u_n)$ est : $u_n = 10000\times0.85^n + 10000$ pour tout $n \in \N$
Démontrer que la suite $(u_n)$ est décroissante. Que peut-on en déduire dans le contexte de l'exercice ?
Démontrer que $u_n > 10000$ pour tout $n \in \N$. Que peut-on en déduire dans le contexte de l'exercice ?
Déduire des deux questions précédentes que quand $n$ devient grand ($n \rightarrow +\infty$) alors $u_n$ se rapproche de $10000$ ($u_n \rightarrow 10000$). Que peut-on en déduire dans le contexte de l'exercice ?
En dressant un tableau donner l'année durant laquelle la population est de $16000$ habitants.
On considère la suite numérique $(a_n)$ définie par $a_n = n - n \times \cos{\Big( \dfrac{1}{n}\Big)}$ pour $n \in \N^{*}$. @vs5
Recopier et compléter le tableau suivant (donner l'écriture scientifique) : @vs5
[ ['$n$','$10^1$','$10^2$','$10^3$','$10^4$','$10^5$','$10^6$','$10^7$'], ['$a_n$','','','','','','',''], ]
On considère la quantité $A(h) = \dfrac{1-\cos{(h)}}{h}$ pour $h > 0$. Que dire de la quantité $A(h)$ lorsque $h \longrightarrow 0$ ?
Écrire une propriété (qui sera admise).
On considère la suite numérique $(b_n)$ définie par $b_n = n \times \sin{\Big( \dfrac{1}{n}\Big)}$ pour $n \in \N^{*}$. @vs5
Recopier et compléter le tableau suivant (donner l'écriture scientifique) : @vs5
[ ['$n$','$10^1$','$10^2$','$10^3$','$10^4$','$10^5$','$10^6$'], ['$b_n$','','','','','',''], ]
On considère la quantité $B(h) = \dfrac{\sin{(h)}}{h}$ pour $h > 0$. Que dire de la quantité $B(h)$ lorsque $h \longrightarrow 0$ ?
Écrire une propriété (qui sera admise).
On considère deux suites numériques $(a_n)$ et $(b_n)$ telles que : @vs5 --b $a_n = -2n + 4$ pour tout $n \in \N$ @vs5 --b $b_{n+1} = b_n - 4$ pour tout $n \in \N$ et $b_0 = 2$ @vs10 A la fin de l'exercice, on veut démontrer par récurrence, la propriété $P(n) : b_n = -4n + 2$ pour tout $n \in \N$
Quelle est la suite possèdant la relation de récurrence (forme récurrente) ? explicite ?
Dans un repère, placer les points de coordonnées $(0;a_0)$ ; $(1;a_1)$ ; $(2;a_2)$ et $(3;a_3)$. Peut-on relier ces points ?
Dans un repère, placer les points de coordonnées $(0;b_0)$ ; $(1;b_1)$ ; $(2;b_2)$ et $(3;b_3)$. Peut-on relier ces points ?
Expliquer pourquoi $P(0)$ est vraie.
On suppose que la propriété est vraie au rang $k$, c'est à dire $b_k = -4k + 2$. Calculer $b_{k+1}$ à partir de la relation de récurrence.
En déduire que $b_{k+1} = -4(k+1) + 2$. Que peut on en déduire ?
Conclure la démonstration.
On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 2$ et $u_{n+1} = 2u_n -3$ pour tout $n \in \N$.
Soit la suite $(v_n)$ définie pour tout entier $n$ par $v_n = u_n - 3$.
Calculer $u_1$ et $u_2$.
Démontrer que $(u_n)$ n'est ni une suite arithmétique ni une suite géométrique.
Démontrer que la suite $(v_n)$ est une suite géométrique.
Déterminer la forme explicite de la suite $(u_n)$.
Démontrer que $(u_n)$ est décroissante.
Déterminer, le plus petit entier $n$ tel que $u_n \leqslant -60$.
On considère la suite $(a_n)$ définie par $a_0 = 2$ et $a_{n+1} = 3a_n - 2$ pour tout $n \in \N$.
Soit la suite $(b_n)$ définie pour tout entier $n$ par $b_n = a_n + \alpha$, $\alpha$ est un nombre réel.
Calculer $a_1$ et $a_2$.
Démontrer que $(a_n)$ n'est ni une suite arithmétique ni une suite géométrique.
Démontrer que la suite $(b_n)$ est une suite géométrique de raison $q=3$ et de premier terme $b_0 = 2 + \alpha$ $\ssi$ $-2+\alpha = 3\alpha$. Déterminer alors la valeur de $\alpha$.
Déterminer la forme explicite de la suite $(b_n)$.
Démontrer que $a_n = 3^n + 1$ pour tout $n \in \N$.
Démontrer que $(a_n)$ est croissante.
Déterminer, le plus petit entier $n$ tel que $a_n \geqslant 6562$. Expliquer précisément l'utilisation de $\geqslant$.
Calculer $\displaystyle \sum_{k=0}^{k=9} b_k$. Démontrer alors que $\displaystyle \sum_{k=0}^{k=9} a_k = 29534 $
Comportement à l'infini de suite.
Déterminer si les suites suivantes sont convergentes ou non.
$a_n=\Big( \dfrac{2}{3}\Big)^n$
$b_n = 2 + \dfrac{1}{n}$
$c_{n+1} = 1.01\times c_n $ et $c_0=2$
$d_n = n(n+3)$
$e_n = \dfrac{1}{25\sqrt{n}}$
$f_n = 0.999^n$
Comportement à l'infini de la suite $a_n = -3 + \dfrac{2}{3n+1}$.
On considère la suite $(a_n)$ définie par $a_n = -3 + \dfrac{2}{3n+1}$ pour tout $n \in \N$
Expliquer pourquoi la suite $(a_n)$ est bien définie.
Démontrer que la suite $(a_n)$ est décroissante.
Démontrer que la suite $(a_n)$ est minorée par $-3$.
Que peut-on déduire des deux questions précédentes ?
Démontrer que $0 < \dfrac{2}{3n+1} < \dfrac{\frac{2}{3}}{n^1}$
Que dire de la limite de $\dfrac{\frac{2}{3}}{n^1}$ ? En déduire la limite de $ \dfrac{2}{3n+1}$.
En déduire la limite de $(a_n)$.
Comportement à l'infini de la suite $b_n = \dfrac{10n+22}{2n+5}$.
On considère la suite $(b_n)$ définie par $b_n = \dfrac{10n+22}{2n+5}$ pour tout $n \in \N$
Expliquer pourquoi la suite $(b_n)$ est bien définie.
Démontrer que la suite $(b_n)$ est croissante.
Démontrer que la suite $(b_n)$ est majorée par $5$.
Que peut-on déduire des deux questions précédentes ?
Démontrer que $\dfrac{-\frac{3}{2}}{n^1} < -\dfrac{3}{2n+5} < 0$
Que dire de la limite de $\dfrac{-\frac{3}{2}}{n^1}$ ? En déduire la limite de $ -\dfrac{3}{2n+5}$.
Établir la relation entre $b_n$ et $ -\dfrac{3}{2n+5}$.
En déduire la limite de $(b_n)$.
Somme et limite (suite géométrique)
On considère la suite $(c_n)$ définie par $c_n = 10^{-n-1}$ pour tout $n \in \N$ et la suite $(s_n)$ définie par $s_n = c_0 + c_1 + c_2 + \cdots + c_n$ pour tout $n \in \N$
Donner toutes les caractéristiques de la suite $(c_n)$
Démontrer que $s_n = \dfrac{1}{9}(1-0.1^n)$.
Vérifier que $s_n = 0,\underbrace{11\cdots 1}_{n+1 \; \text{décimales}}$
Déterminer la limite de la suite $(s_n)$.
En déduire que $0,11\underline{1}\cdots = \dfrac{1}{9}$.
Développement décimal infini
On considère le réel $x$ dont le développement décimal (infini) est $x = 0,23\underline{23}\cdots$
Vérifier que le réel $x$ est la limite de la suite $(x_n)$ définie par : @vs5 $x_n = \dfrac{23}{10^2} + \dfrac{23}{10^4} + \cdots + \dfrac{23}{10^{2n}}$
Démontrer $\dfrac{1}{23}x_n$ est la somme des termes d'une suite géométrique $(d_n)$ dont on précisera la raison et le premier terme.
En déduire que $1 + \dfrac{1}{23}x_n= \dfrac{100}{99}(1-0.01^n) $
Démontrer alors que la limite de la suite $(x_n)$ est $\dfrac{23}{99}$
En déduire une écriture fractionnaire du réel $x$.
Déterminer une écriture fractionnaire du réel $x = -2,23\underline{23}\cdots$.
Développement décimal infini
On considère le réel $x$ dont le développement décimal (infini) est $x = 0,152\underline{152}\cdots$
Vérifier que le réel $x$ est la limite de la suite $(x_n)$ définie par : @vs5 $x_n = \dfrac{152}{10^3} + \dfrac{152}{10^6} + \cdots + \dfrac{152}{10^{3n}}$
Démontrer $\dfrac{1}{152}x_n$ est la somme des termes d'une suite géométrique $(d_n)$ dont on précisera la raison et le premier terme.
En déduire que $1 + \dfrac{1}{152}x_n= \dfrac{1000}{999}(1-0.001^n) $
Démontrer alors que la limite de la suite $(x_n)$ est $\dfrac{152}{999}$
En déduire une écriture fractionnaire du réel $x$.
Déterminer une écriture fractionnaire du réel $x = 5,152\underline{152}\cdots$.
Suite arithmético-géométrique
On considère la suite $(a_n)$ définie par $a_{n+1} = \dfrac{1}{4}a_n -6$ pour tout $n \in \N$ et $a_0 = 2$ et la suite $(r_n)$ définie par $r_n = a_n + 8$ pour tout $n \in \N$
Démontrer que la suite $(a_n)$ n'est ni géométrique ni arithmétique.
Démontrer que la suite $(r_n)$ est géométrique. Préciser sa raison et son premier terme.
Déterminer la forme explicite de la suite $(a_n)$.
Démontrer la suite $(a_n)$ est décroissante.
Démontrer par récurrence que la suite $(a_n)$ est minorée par $-8$.
Que peut-on déduire des deux questions précédentes ?
Démontrer que la limite $l$ de la suite $(a_n)$ est la solution de l'équation $x = \dfrac{1}{4}x-6$.
Déterminer la limite de la suite $(a_n)$.
On pose $S_n = a_0 + a_1 + a_2 + \cdots a_n$ et $S'_n = r_0 + r_1 + r_2 + \cdots r_n$. Établir une relation entre $S_n$ et $S'_n$.
Exprimer $S'_n$ et $S_n$ en fonction de $n$.
Déterminer la limite de la suite $(b_n)$ définie par $b_n = \dfrac{S_n}{n}$.
Déterminer la fonction $f$ telle que $a_{n+1} = f(a_n)$. Dans un même repère, tracer $\mathcal{C}_f$ et $(d) : y = x$
Dans le repère précédent, représenter graphiquement $a_0$, $a_1$, $a_2$ etc ...
Suite arithmético-géométrique
On considère la suite $(a_n)$ définie par $a_{n+1} = \dfrac{1}{3}a_n + 4$ pour tout $n \in \N$ et $a_0 = 0$ et la suite $(r_n)$ définie par $r_n = a_n - 6$ pour tout $n \in \N$
Démontrer que la suite $(a_n)$ n'est ni géométrique ni arithmétique.
Démontrer que la suite $(r_n)$ est géométrique. Préciser sa raison et son premier terme. Donner sa limite.
Déterminer la forme explicite de la suite $(a_n)$.
Démontrer la suite $(a_n)$ est croissante.
Démontrer par récurrence que la suite $(a_n)$ est majorée par $6$.
Que peut-on déduire des deux questions précédentes ?
Démontrer que la limite $l$ de la suite $(a_n)$ est la solution de l'équation $x = \dfrac{1}{3}x+4$.
Déterminer la limite de la suite $(a_n)$.
On pose $S_n = a_0 + a_1 + a_2 + \cdots a_n$ et $S'_n = r_0 + r_1 + r_2 + \cdots r_n$. Établir une relation entre $S_n$ et $S'_n$.
Exprimer $S'_n$ et $S_n$ en fonction de $n$.
Déterminer la limite de la suite $(b_n)$ définie par $b_n = \dfrac{S_n}{n}$.
Déterminer la fonction $f$ telle que $a_{n+1} = f(a_n)$. Dans un même repère, tracer $\mathcal{C}_f$ et $(d) : y = x$
Dans le repère précédent, représenter graphiquement $a_0$, $a_1$, $a_2$ etc ...
On considère deux suites numériques $(a_n)$ et $(b_n)$ telles que : @vs5 --b $a_{n+1} = a_n + 3$ pour tout $n \in \N$ et $a_0 = -4$ @vs5 --b $b_{n} = -2n +1$ pour tout $n \in \N$ @vs10 A la fin de l'exercice, on veut démontrer par récurrence, la propriété $P(n) : a_n = 3n - 4$ pour tout $n \in \N$
Quelle est la suite possèdant la relation de récurrence (forme récurrente) ? explicite ?
Dans un repère, placer les points de coordonnées $(0;a_0)$ ; $(1;a_1)$ ; $(2;a_2)$ ; $(3;a_3)$ et $(4;a_4)$.
Dans un repère, placer les points de coordonnées $(0;b_0)$ ; $(1;b_1)$ ; $(2;b_2)$ ; $(3;b_3)$ et $(4;b_4)$.
Expliquer pourquoi $P(0)$ est vraie.
On suppose que la propriété est vraie au rang $k$, c'est à dire $a_k = 3k - 4$. Calculer $a_{k+1}$ à partir de la relation de récurrence.
En déduire que $a_{k+1} = 3(k+1) -4$. Que peut on en déduire ?
Conclure la démonstration.
On considère la suite numérique $(a_n)$ telle que : @vs5 --b $a_n = \dfrac{2n}{2n+1}$ pour tout $n \in \N$ @vs10
Dans un repère, placer les points de coordonnées $(0;a_0)$ ; $(1;a_1)$ ; $(2;a_2)$ et $(3;a_3)$.
Faire une conjecture concernant la monotonie de $(a_n)$.
Démontrer cette conjecture.
On considère la suite numérique $(b_n)$ telle que : @vs5 --b $b_{n+1} = 3b_n - 2$ pour tout $n \in \N$ et $b_0 = 0$ @vs10
Dans un repère, placer les points de coordonnées $(0;b_0)$ ; $(1;b_1)$ ; $(2;b_2)$ et $(3;b_3)$.
Démontrer par récurrence que la suite $(b_n)$ est décroissante. On pourra poser la propriété $P(n) : b_{n+1} < b_n$ pour tout $n \in \N$
On considère la suite numérique $(a_n)$ telle que : @vs5 --b $a_n = -2n^3 + 10$ pour tout $n \in \N$ @vs10
Dans un repère, placer les points de coordonnées $(0;a_0)$ ; $(1;a_1)$ ; $(2;a_2)$ et $(3;a_3)$.
Faire une conjecture concernant la monotonie de $(a_n)$.
Démontrer que $(n+1)^3 - n^3 = 3n^2+3n+1$.
Démontrer la conjecture énoncée plus haut.
Les services de la mairie d'une ville ont étudié l'évolution de la population de cette ville. Chaque année, $15\%$ de la population quitte la ville et $1\;500$ personnes s'y installent. En $2022$, la ville comptait $20\;000$ habitants. @vs10 On note $u_n$ le nombre d'habitants de la ville pour l'année $2022+n$. On a donc $u_0 = 20\;000$
Calculer $u_1$ et $u_2$.
Calculer $u_3$. Que représente $u_3$ dans le contexte de l'exercice ?
Déterminer la forme récurrente de $(u_n)$. Justifier.
Démontrer par récurrence que la forme explicite de $(u_n)$ est : $u_n = 10000\times0.85^n + 10000$ pour tout $n \in \N$
Démontrer que la suite $(u_n)$ est décroissante. Que peut-on en déduire dans le contexte de l'exercice ?
Démontrer que $u_n > 10000$ pour tout $n \in \N$. Que peut-on en déduire dans le contexte de l'exercice ?
Déterminer l'année durant laquelle la population sera de $13000$ habitants.
Au premier janvier 2022, on place $2500$ € sur un compte rémunéré. Cette rémunération représente $2\%$ de la somme disponible sur ce compte *{bold::par mois}. À partir de février on place $150$ € de plus chaque premier du mois. Soit $(u_n)$ la suite dont le terme $u_n$ représente la somme disponible sur ce compte au mois $n+1$. On a donc $u_0 = 2500$.
Soit la suite $(w_n)$ définie pour tout entier $n$ par $w_n = u_n + 7500 $.
Démontrer que $u_1 = 2700$ et que $u_2 = 2904$. Calculer $u_3$. Que représente $u_3$ dans le contexte de l'exercice ?
Démontrer que $(u_n)$ n'est ni une suite arithmétique ni une suite géométrique.
Déterminer la forme récurrente de $(u_n)$.
Démontrer que la suite $(w_n)$ est une suite géométrique.
Déterminer la forme explicite de la suite $(u_n)$.
Démontrer que $(u_n)$ est croissante.
Déterminer le mois et l'année auquels la somme sur ce compte en banque aura doublé. Justifier.
On considère la suite $(a_n)$ définie par $a_0 = 2$ et $a_{n+1} = 3a_n - 2$ pour tout $n \in \N$. Soit la suite $(b_n)$ définie pour tout entier $n$ par $b_n = a_n + \alpha$, $\alpha$ est un nombre réel.
Calculer $a_1$ et $a_2$.
Démontrer que $(a_n)$ n'est ni une suite arithmétique ni une suite géométrique.
Démontrer que la suite $(b_n)$ est une suite géométrique de raison $q=3$ et de premier terme $b_0 = 2 + \alpha$ $\ssi$ $-2+\alpha = 3\alpha$. Déterminer alors la valeur de $\alpha$.
Déterminer la forme explicite de la suite $(b_n)$ puis démontrer que $a_n = 3^n + 1$ pour tout $n \in \N$.
Démontrer que $(u_n)$ est croissante.
Déterminer, le plus petit entier $n$ tel que $u_n \geqslant 6562$. Expliquer précisément l'utilisation de $\geqslant$.
Calculer $\displaystyle \sum_{k=0}^{k=9} b_k$. Démontrer alors que $\displaystyle \sum_{k=0}^{k=9} a_k = 29534 $
On considère la suite $(a_n)$ définie par $a_n = 5 + \dfrac{4}{2n+1}$ pour tout $n \in \N$
Expliquer pourquoi la suite $(a_n)$ est bien définie.
Démontrer que $a_{n+1} - a_n = \dfrac{-8}{(2n +3)(2n + 1)}$.
Démontrer que la suite $(a_n)$ est décroissante.
Démontrer que la suite $(a_n)$ est minorée par $5$.
Que peut-on déduire des deux questions précédentes ?
Démontrer que $0 < \dfrac{4}{2n+1} < \dfrac{2}{n^1}$
Que dire de la limite de $\dfrac{2}{n^1}$ ? En déduire la limite de $ \dfrac{4}{2n+1}$.
En déduire la limite de $(a_n)$.
On considère la suite $(a_n)$ définie par $a_{n+1} = \dfrac{1}{3}a_n - 6$ pour tout $n \in \N$ et $a_0 = -1$ et la suite $(r_n)$ définie par $r_n = a_n + 9$ pour tout $n \in \N$
Démontrer que la suite $(a_n)$ n'est ni géométrique ni arithmétique.
Démontrer que la suite $(r_n)$ est géométrique. Préciser sa raison et son premier terme.
Déterminer la forme explicite de la suite $(a_n)$.
Démontrer la suite $(a_n)$ est décroissante.
Démontrer par récurrence que la suite $(a_n)$ est minorée par $-9$.
Que peut-on déduire des deux questions précédentes ?
Démontrer que la limite $l$ de la suite $(a_n)$ est la solution de l'équation $x = \dfrac{1}{3}x-6$.
Déterminer la limite de la suite $(a_n)$.
On considère la suite $(a_n)$ définie par $a_{n+1} = \dfrac{6}{7}a_n +\dfrac{2}{3}$ pour tout $n \in \N$ et $a_0 = 0$ et la suite $(r_n)$ définie par $r_n = a_n - \dfrac{42}{9}$ pour tout $n \in \N$
Démontrer que la suite $(a_n)$ n'est ni géométrique ni arithmétique.
Démontrer que $r_n = -\dfrac{14}{3}\times \Bigg(\dfrac{6}{7} \Bigg)^n$ pour tout $n \in \N$
Déterminer la limite de la suite $(r_n)$. Justifier.
Déterminer la forme explicite de la suite $(a_n)$.
Démontrer que la suite $(a_n)$ est croissante.
Démontrer par récurrence que la suite $(a_n)$ est majorée par $5$.
Que peut-on déduire des deux questions précédentes ?
Démontrer que la limite $l$ de la suite $(a_n)$ est la solution de l'équation $x = \dfrac{6}{7}x+\dfrac{2}{3}$.
Déduire de la question précédente la limite de la suite $(a_n)$.
On pose $S_n = \displaystyle\sum_{k=0}^{k=n} a_k$ et $S'_n = \displaystyle\sum_{k=0}^{k=n} r_k$. Établir une relation entre $S_n$ et $S'_n$.
Exprimer $S'_n$ et $S_n$ en fonction de $n$.
Déterminer la limite de la suite $(b_n)$ définie par $b_n = \dfrac{S_n}{n^2}$.
Déterminer la fonction $f$ telle que $a_{n+1} = f(a_n)$. Dans un même repère, tracer $\mathcal{C}_f$ et $(d) : y = x$. Justifier très précisément ces constructions.
Dans le repère précédent, représenter graphiquement $a_0$, $a_1$, $a_2$ etc ...
On considère la suite $(a_n)$ définie par $a_{n+1} = \dfrac{1}{3}a_n -5$ pour tout $n \in \N$ et $a_0 = 6$ et la suite $(r_n)$ définie par $r_n = a_n + \dfrac{15}{2}$ pour tout $n \in \N$
Démontrer que la suite $(a_n)$ n'est ni géométrique ni arithmétique.
Démontrer que $r_n = \dfrac{27}{2}\times \Bigg(\dfrac{1}{3} \Bigg)^n$ pour tout $n \in \N$
Déterminer la limite de la suite $(r_n)$. Justifier.
Déterminer la forme explicite de la suite $(a_n)$.
Démontrer que la suite $(a_n)$ est décroissante.
Démontrer par récurrence que la suite $(a_n)$ est minorée par $-8$.
Que peut-on déduire des deux questions précédentes ? Justifier.
Démontrer que la limite $l$ de la suite $(a_n)$ est la solution de l'équation $x = \dfrac{1}{3}x-5$.
Déduire de la question précédente la limite de la suite $(a_n)$.
On pose $S_n = \displaystyle\sum_{k=0}^{k=n} a_k$ et $S'_n = \displaystyle\sum_{k=0}^{k=n} r_k$. Établir une relation entre $S_n$ et $S'_n$.
Exprimer $S'_n$ et $S_n$ en fonction de $n$.
Déterminer la limite de la suite $(b_n)$ définie par $b_n = \dfrac{S_n}{n}$.
Déterminer la fonction $f$ telle que $a_{n+1} = f(a_n)$. Dans un même repère, tracer $\mathcal{C}_f$ et $(d) : y = x$. Justifier très précisément ces constructions.
Dans le repère précédent, représenter graphiquement $a_0$, $a_1$, $a_2$ etc ...
On considère le réel $x$ dont le développement décimal (infini) est $x = 0,837\underline{837}\cdots$
Vérifier que le réel $x$ est la limite de la suite $(x_n)$ définie par : @vs5 $x_n = \dfrac{837}{10^3} + \dfrac{837}{10^6} + \cdots + \dfrac{837}{10^{3n}}$
On considère la suite géométrique $(d_n)$ de raison $0.001$ et de premier terme $1$. Déterminer sa forme récurrente et sa forme explicite.
Déterminer la limite de la suite $(d_n)$. Justifier.
Calculer $\displaystyle \sum_{k=0}^{k=n}d_k$. En déduire $\displaystyle \sum_{k=1}^{k=n}d_k$
Démontrer que $\dfrac{1}{837}x_n = \displaystyle \sum_{k=1}^{k=n}d_k$.
En déduire que $1 + \dfrac{1}{837}x_n= \dfrac{1000}{999}(1-0.001^{n+1}) $
En déduire la limite de la suite $(x_n)$.
Démontrer que $x = \dfrac{31}{37}$
Déterminer une écriture fractionnaire du réel $y = -3,837\underline{837}\cdots$.
On considère la fonction $f_n$ définie par $f_n : x \mapsto (a x + b)^n$ où $n \in \N^*$ et $a,b \in \R^*$. @vs5 Démontrer par récurrence que $f_n'(x) = n a (a x + b)^{n-1}$ pour tout $n \in \N^*$ @vs10 *{italic::Pour l'hérédité, il faudra utiliser la formule du produit.}
On considère la suite $(a_n)$ définie par $a_{n+1} = \dfrac{1}{2}a_n -3$ et $a_0 = 4$. On pose la suite $(x_n)$ définie par $x_n = a_n + \alpha$ pour tout $n \in \N$ et où $\alpha$ est un réel. Déterminer le réel $\alpha$ pour que la suite $(x_n)$ soit géométrique (préciser sa raison et son premier terme) puis déterminer la limite des suites $(x_n)$ et $(a_n)$. Justifier.
On considère la suite $(x_n)$ géométrique de raison $\dfrac{1}{10}$ et de premier terme $\dfrac{1}{10}$ et la suite $(a_n)$ définie par $a_{n} = 7\times \displaystyle \sum_{k=0}^{k=n}x_k $ pour tout $n \in \N$. Déterminer la limite de la suite $(a_n)$ puis donner une écriture fractionnaire de $0,7\underline{7}\cdots$. Justifier.
On considère la fonction $f_n$ définie par $f_n : x \mapsto \Big(\dfrac{1}{x}\Big)^n$ où $n \in \N^*$ avec $\mathcal{D}_{f_n} = \mathcal{D}_{f'_n} = \R^*$. @vs20 Démontrer par récurrence que $f_n' : x \mapsto -n\Big(\dfrac{1}{x}\Big)^{n+1}$ pour tout $n \in \N^*$ @vs10 *{italic::Pour l'hérédité, il faudra utiliser la formule du produit.}
On considère la suite $(x_n)$ géométrique de raison $\dfrac{1}{100}$ et de premier terme $\dfrac{1}{100}$ et la suite $(a_n)$ définie par $a_{n} = 36\times \displaystyle \sum_{k=0}^{k=n}x_k $ pour tout $n \in \N$. Déterminer la limite de la suite $(a_n)$ puis donner l'écriture fractionnaire irréductible de $0,36\underline{36}\cdots$. Justifier.
On considère la fonction $f_n$ définie par $f_n : x \mapsto \Big(\sqrt{x}\Big)^n$ où $n \in \N^*$ avec $\mathcal{D}_{f_n} = [0;+\infty[$ et $\mathcal{D}_{f'_n} = ]0;+\infty[$. @vs20 Démontrer par récurrence que $f_n' : x \mapsto \dfrac{n}{2}\Big(\sqrt{x}\Big)^{n-2}$ pour tout $n \in \N^*$ @vs10 *{italic::Rappels} : $\Big[\sqrt{x}\Big]' = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ et $\dfrac{1}{\sqrt{x}} = \big(\sqrt{x}\big)^{-1}$