1G - F4 - Trigonométrie et fonctions trigonométriques
Sur le cercle trigonométrique on a placé le point $A(a)$ et le point $B(b)$ :
Donner les coordonnées de $\vecteur{OA}$ et $\vecteur{OB}$.
En utilisant la formule avec les coordonnées, calculer $\vecteur{OA} \cdot \vecteur{OB}$.
En utilisant la formule avec le cosinus, calculer $\vecteur{OA} \cdot \vecteur{OB}$.
Établir alors la formule de $\cos{(a-b)}$.
En remarquant que $\cos{(a+b)} = \cos{\big(a-(-b)\big)}$, établir la formule de $\cos{(a+b)}$.
Sur la figure ci-dessous, $C$ est diamétralement opposé au point $B$ : @vs5
Donner $4$ mesures de $(\vecteur{OI},\vecteur{OA})$
Donner la mesure principale de $(\vecteur{OI},\vecteur{OA})$
Donner la mesure principale de $(\vecteur{OB},\vecteur{OD})$.
Démontrer que $\dfrac{-15\pi}{4}$ est une mesure de $(\vecteur{OB},\vecteur{OD})$
Donner une mesure de $(\vecteur{OA},\vecteur{OB})$
Donner une mesure de $(\vecteur{OB},\vecteur{OA})$
Donner une mesure de $(\vecteur{AB},\vecteur{AC})$.
Tracer un cercle trigonométrique $\mathcal{C}$.
Placer $A$, d'ordonnée positive, tel que $A \in \mathcal{C}$ et $\widehat{AOI} = 60°$.
Déterminer trois mesures de $(\vecteur{OI},\vecteur{OA})$. Justifier.
Déterminer la mesure principale de $(\vecteur{OI},\vecteur{OA})$. Justifier.
Placer $B$ tel que $B \in \mathcal{C}$ et $(\vecteur{OA},\vecteur{OB}) = -\dfrac{7\pi}{6} + k\times 2\pi$ avec $k \in \mathbb{Z}$. Justifier.
Déterminer la mesure principale de $(\vecteur{OI},\vecteur{OB})$. Justifier.
Est-ce que $-\dfrac{11\pi}{2}$ est une mesure de $(\vecteur{OI},\vecteur{OB})$ ? Justifier.
Soit le point $M$ appartenant au cercle trigonométrique tel que $\widehat{IOM} = 135°$. Déterminer les coordonnées de $M$.
Soit le point $M$ appartenant au cercle trigonométrique tel que $\widehat{JOM} = 120°$. Déterminer les coordonnées de $M$.
Soit le point $M$ appartenant au cercle trigonométrique tel que $\widehat{IOM} = 180°$. Déterminer les coordonnées de $M$.
Tracer un cercle trigonométrique $(\mathcal{C})$ de centre $O$.
Associer au cercle $(\mathcal{C})$ le repère orthonormé direct $(O;\vecteur{OI},\vecteur{OJ})$.
Placer $A$, d'ordonnée négative, tel que $A \in (\mathcal{C})$ et $\widehat{AOI} = 60°$.
Déterminer trois mesures de $(\vecteur{OI},\vecteur{OA})$. Justifier.
Déterminer la mesure principale de $(\vecteur{OI},\vecteur{OA})$. Justifier.
Placer $B$ tel que $B \in (\mathcal{C})$ et $(\vecteur{OA},\vecteur{OB}) = -\dfrac{7\pi}{6} + k\times 2\pi$ avec $k \in \mathbb{Z}$. Justifier.
Déterminer la mesure principale de $(\vecteur{OI},\vecteur{OB})$. Justifier.
Est-ce que $-\dfrac{7\pi}{2}$ est une mesure de $(\vecteur{OI},\vecteur{OB})$ ? Justifier.
Donner les coordonnées de $A$ et $B$.
Démontrer que $\cos{(2a)} = \cos^2{(a)} - \sin^2{(a)}$
En déduire que $\cos{(2a)} = 2\cos^2{(a)} - 1$
En déduire que $\cos{\Big( \dfrac{\pi}{8}\Big)} = \dfrac{\sqrt{\sqrt{2}+2}}{2}$
Démontrer que $\sin{(2a)} = 2\sin{(a)}\cos{(a)}$
Démontrer que $\sin{(2a)} = 0$ $\ssi$ $a= 0$ ou $a=\dfrac{\pi}{2}$ ou $a=\dfrac{3\pi}{2}$ ou $a=\pi$ (Pour $a \in \Big[0;2\pi\Big[$)
Tracer un cercle trigonométrique $(\mathcal{C})$ de centre $O$.
Associer au cercle $(\mathcal{C})$ le repère orthonormé direct $(O;\vecteur{OI},\vecteur{OJ})$.
Placer $A$, d'ordonnée négative, tel que $A \in (\mathcal{C})$ et $\widehat{AOI} = 30°$.
Déterminer trois mesures de $(\vecteur{OI},\vecteur{OA})$. Justifier.
Déterminer la mesure principale de $(\vecteur{OI},\vecteur{OA})$. Justifier.
Placer $B$ tel que $B \in (\mathcal{C})$ et $(\vecteur{OA},\vecteur{OB}) = -\dfrac{7\pi}{3} + k\times 2\pi$ avec $k \in \mathbb{Z}$. Justifier.
Déterminer la mesure principale de $(\vecteur{OI},\vecteur{OB})$. Justifier.
Est-ce que $\dfrac{5\pi}{2}$ est une mesure de $(\vecteur{OI},\vecteur{OB})$ ? Justifier.
Donner les coordonnées de $A$ et $B$.
Déterminer la mesure principale des angles orientés $ -\frac{9\pi}{5}$, $ -\frac{19\pi}{4}$, $ \frac{4\pi}{3}$, $ -\frac{7\pi}{10}$, $ -\frac{23\pi}{4}$, $ \frac{37\pi}{7}$, $ -\frac{2\pi}{3}$ et $ \frac{25\pi}{10}$.
Soit $A$, $B$, $C$ et $D$ quatre points tels que $\displaystyle (\vecteur{AB},\vecteur{AC}) = -\frac{\pi}{3}$ et $\vecteur{BD} = -2\vecteur{AC}$ Donner la mesure principale des angles orientés : $\displaystyle (\vecteur{BA},\vecteur{AC})$, $\displaystyle (\vecteur{AC},\vecteur{BA})$, $\displaystyle (\vecteur{BA},\vecteur{DB})$ et $\displaystyle (\vecteur{AB},\vecteur{DB})$.
Démontrer que $\displaystyle \cos{\frac{\pi}{4}} =\sin{\frac{\pi}{4}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Démontrer que $\cos{(2a)} = \cos^2{(a)} - \sin^2{(a)}$
En déduire que $\cos{(2a)} = 2\cos^2{(a)} - 1$
En déduire que $\cos{\Big( \dfrac{\pi}{8}\Big)} = \dfrac{\sqrt{\sqrt{2}+2}}{2}$
Démontrer que $\sin{(2a)} = 2\sin{(a)}\cos{(a)}$
Démontrer que $\sin{(2a)} = 0$ $\ssi$ $a= 0$ ou $a=\dfrac{\pi}{2}$ ou $a=\dfrac{3\pi}{2}$ ou $a=\pi$ (Pour $a \in \Big[0;2\pi\Big[$)
En utilisant des formules de trigonométrie, démontrer que $\cos{\Big( \dfrac{\pi}{12} \Big)} = \dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$
En utilisant des formules de trigonométrie, démontrer que $\cos{\Big( \dfrac{\pi}{8} \Big)} = \sqrt{\dfrac{\sqrt{2}+2}{4}}$
En utilisant des formules de trigonométrie, démontrer que $\cos{(3x)} = 4\cos^3{(x)} - 3\cos{(x)}$
En utilisant des formules de trigonométrie, démontrer que $\sin{(3x)} = -4\sin^3{(x)} + 3\sin{(x)}$
En utilisant des formules de trigonométrie, démontrer que $\cos{(4x)} = 8\cos^4{(x)} - 8\cos^2{(x)} + 1$
L'objectif est de déterminer les solutions de $\cos{(3x)} = 0$ pour $x \in [0;\pi]$. On pose $X = \cos{(x)}$.
Démontrer que $\cos{(3x)} = 0$ $\ssi$ $4X^3 - 3X = 0$
Factoriser $4X^3 - 3X$.
Démontrer alors que l'équation $4X^3 - 3X = 0$ possède trois solutions. Les déterminer.
Démontrer alors que l'équation $\cos{(3x)} = 0$ possède trois solutions dans $[0;\pi]$. Les déterminer.
L'objectif est de déterminer les solutions de $\cos{(4x)} = 1$ pour $x \in [0;\pi]$. On pose $X = \cos{(x)}$ et $Y = X^2$.
Démontrer que $\cos{(4x)} = 1$ $\ssi$ $8X^4 - 8X^2 = 0$
Démontrer que $\cos{(4x)} = 1$ $\ssi$ $8Y^2 - 8Y = 0$
Factoriser $8Y^2 - 8Y$.
Démontrer alors que l'équation $8Y^2 - 8Y = 0$ possède deux solutions. Les déterminer.
Démontrer alors que l'équation $8X^4 - 8X^2 = 0$ possède trois solutions. Les déterminer.
Démontrer alors que l'équation $\cos{(4x)} = 1$ possède trois solutions dans $[0;\pi]$. Les déterminer.
Déterminer la valeur de :
$\cos\Big( 0 \Big)$
$\sin\Big( 0 \Big)$
$\cos\Big( \dfrac{\pi}{6} \Big)$
$\sin\Big( \dfrac{\pi}{6} \Big)$
$\cos\Big( \dfrac{\pi}{4} \Big)$
$\sin\Big( \dfrac{\pi}{4} \Big)$
$\cos\Big( \dfrac{\pi}{3} \Big)$
$\sin\Big( \dfrac{\pi}{3} \Big)$
$\cos\Big( \dfrac{\pi}{2} \Big)$
$\sin\Big( \dfrac{\pi}{2} \Big)$
$\cos\Big( \pi \Big)$
$\sin\Big( \pi \Big)$
Déterminer la valeur de (pour $x \in \R$ et $k \in \mathbb{Z}$) :
$\cos\Big( -x \Big)$
$\sin\Big( -x \Big)$
$\cos\Big( \pi-x \Big)$
$\sin\Big( \pi-x \Big)$
$\cos\Big( \pi+x \Big)$
$\sin\Big( \pi+x \Big)$
$\cos\Big( \dfrac{\pi}{2} + x \Big)$
$\sin\Big( \dfrac{\pi}{2} + x \Big)$
$\cos\Big( \dfrac{\pi}{2} -x \Big)$
$\sin\Big( \dfrac{\pi}{2} -x \Big)$
$\cos\Big( x + k\times 2\pi \Big)$
$\sin\Big( x + k\times 2\pi \Big)$
Déterminer la valeur de (pour $x \in \R$ et $y \in \mathbb{R}$) :
$\cos\Big( x+y \Big)$
$\sin\Big( x+y \Big)$
$\cos\Big( x-y \Big)$
$\sin\Big( x-y \Big)$
$\cos\Big( 2x \Big)$
$\sin\Big( 2x \Big)$
Résoudre $\cos{(x)} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ dans $\R$ puis dans $]-\pi;3\pi]$.
Résoudre $\sin{(x)} = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ dans $\R$ puis dans $]-\pi;\pi]$.
On considère la fonction $\cos$ définie par $\cos : x \mapsto \cos{(x)}$ définie sur $\R$ et de représentation graphique $\mathcal{C}$.
Démontrer que la fonction $\cos$ est paire. Que peut-on en déduire sur $\mathcal{C}$ ?
En déduire un intervalle d'étude de la fonction $\cos$ (en lieu et place de $\R$).
Démontrer que la fonction $\cos$ est $2\pi$-périodique. Que peut-on en déduire sur $\mathcal{C}$ ?
En déduire que l'on peut étudier la fonction $\cos$ sur $[0;\pi]$.
Pour $x \in [0;\pi]$ et $h > 0$, calculer $m(h) = \dfrac{\cos{(x+h) - \cos{(x)}}}{h}$.
En déduire que $\cos^{'}{(x)} = -\sin{(x)}$
Déterminer le signe de $\sin{(x)}$ pour $x \in [0;\pi]$
Établir le tableau de variation de la fonction $\cos$ sur $[0;\pi]$ puis sur $[–\pi;\pi]$
Démontrer que la fonction $\cos$ possède deux extremum sur $[0;\pi]$. Préciser leur nature, en quel abscisse et leur valeur.
En déduire que $-1 \leqslant \cos{(x)} \leqslant 1$ pour $x \in \R$
Déterminer l'équation réduite des tangentes à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $-\pi$ ; $-\dfrac{\pi}{2}$ ; $0$ ; $\dfrac{\pi}{2}$ et $\pi$
Construire $\mathcal{C}$ sur $[-\pi;\pi]$
On considère la fonction $\sin$ définie par $\sin : x \mapsto \sin{(x)}$ définie sur $\R$ et de représentation graphique $\mathcal{C}$.
Démontrer que la fonction $\sin$ est impaire. Que peut-on en déduire sur $\mathcal{C}$ ?
En déduire un intervalle d'étude de la fonction $\sin$ (en lieu et place de $\R$).
Démontrer que la fonction $\sin$ est $2\pi$-périodique. Que peut-on en déduire sur $\mathcal{C}$ ?
En déduire que l'on peut étudier la fonction $\sin$ sur $[0;\pi]$.
Démontrer $\sin^{'}{(x)} = \cos{(x)}$
Déterminer le signe de $\cos{(x)}$ pour $x \in [0;\pi]$
Établir le tableau de variation de la fonction $\sin$ sur $[0;\pi]$ puis sur $[–\pi;\pi]$
Démontrer que la fonction $\sin$ possède un extremum sur $[0;\pi]$. Préciser sa nature, en quel abscisse et sa valeur.
En déduire que $-1 \leqslant \sin{(x)} \leqslant 1$ pour $x \in \R$
Déterminer l'équation réduite des tangentes à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $-\pi$ ; $-\dfrac{\pi}{2}$ ; $0$ ; $\dfrac{\pi}{2}$ et $\pi$
Construire $\mathcal{C}$ sur $[-\pi;\pi]$
On considère la fonction $f$ définie par $f : x \mapsto \cos{\Big(2x - \dfrac{\pi}{3}\Big)}$ définie sur $\R$ et de représentation graphique $\mathcal{C}_f$.
Démontrer que la fonction $f$ est $\pi$-périodique. Que peut-on en déduire sur $\mathcal{C}_f$ ?
En déduire que l'on peut étudier la fonction $f$ sur $[0;\pi]$ par exemple.
On pose $u = 2x - \dfrac{\pi}{3}$. Démontrer que $-\dfrac{\pi}{3} \leqslant u \leqslant \dfrac{5\pi}{3}$
Déterminer le signe de $\sin{(u)}$ pour $-\dfrac{\pi}{3} \leqslant u \leqslant \dfrac{5\pi}{3}$
Démontrer que $\sin{\Big( 2x - \dfrac{\pi}{3}\Big)} \leqslant 0$ pour $\dfrac{2\pi}{3} \leqslant x \leqslant \pi$ et pour $ 0 \leqslant x \leqslant \dfrac{\pi}{6}$
Démontrer que $\sin{\Big( 2x - \dfrac{\pi}{3}\Big)} \geqslant 0$ pour $\dfrac{\pi}{6} \leqslant x \leqslant \dfrac{2\pi}{3}$
Établir le tableau de variation de la fonction $f$ sur $[0;\pi]$.
Démontrer que la fonction $f$ possède deux extremum sur $[0;\pi]$. Préciser leur nature, en quel abscisse et leur valeur.
En déduire que $-1 \leqslant f{(x)} \leqslant 1$ pour $x \in \R$
Déterminer l'équation réduite des tangentes à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $0$ ; $\dfrac{5\pi}{12}$ et $\dfrac{\pi}{6}$
Construire $\mathcal{C}_f$ sur $[0;\pi]$
On considère la fonction $g$ définie par $g : x \mapsto \sin{(4x + \pi)}$ définie sur $\R$ et de représentation graphique $\mathcal{C}_g$.
Démontrer que la fonction $f$ est $\dfrac{\pi}{2}$-périodique. Que peut-on en déduire sur $\mathcal{C}_g$ ?
En déduire que l'on peut étudier la fonction $g$ sur $\Big[0;\dfrac{\pi}{2}\Big]$ par exemple.
On pose $u = 4x + \pi$. Démontrer que $\pi \leqslant u \leqslant 3\pi$
Déterminer le signe de $\cos{(u)}$ pour $\pi \leqslant u \leqslant 3\pi$
Démontrer que $\cos{\Big( 4x +\pi\Big)} \leqslant 0$ pour $0 \leqslant x \leqslant \dfrac{\pi}{8}$ et pour $\dfrac{3\pi}{8} \leqslant x \leqslant \dfrac{\pi}{2}$
Démontrer que $\cos{\Big( 4x +\pi\Big)} \geqslant 0$ pour $ \dfrac{\pi}{8} \leqslant x \leqslant \dfrac{3\pi}{8}$
Établir le tableau de variation de la fonction $g$ sur $\Big[0;\dfrac{\pi}{2}\Big]$.
Démontrer que la fonction $g$ possède deux extremum sur $\Big[0;\dfrac{\pi}{2}\Big]$. Préciser leur nature, en quel abscisse et leur valeur.
En déduire que $-1 \leqslant g{(x)} \leqslant 1$ pour $x \in \R$
Déterminer l'équation réduite des tangentes à $\mathcal{C}_g$ au point d'abscisse $0$ ; $\dfrac{\pi}{8}$ et $\dfrac{\pi}{4}$
Construire $\mathcal{C}_g$ sur $\Big[0;\dfrac{\pi}{2}\Big]$
L'objectif est de déterminer les solutions de $\sin{(2x)} = 0$ pour $x \in [-\pi;2\pi[$.
Démontrer que $\sin{(2x)} = 0$ $\ssi$ $\cos{(x)} = 0$ ou $\sin{(x)} = 0$
Démontrer que l'équation $\cos{(x)} = 0$ possède 3 solutions sur $x \in [-\pi;2\pi[$. Les déterminer.
Démontrer que l'équation $\sin{(x)} = 0$ possède 3 solutions sur $x \in [-\pi;2\pi[$. Les déterminer.
En déduire les solutions de $\sin{(2x)} = 0$ pour $x \in [-\pi;2\pi[$
On considère le triangle $KRT$ tel que $TR=5$ ; $KT = 8$ et $(\vecteur{TR},\vecteur{TK}) = \dfrac{-35\pi}{6} + k\times 2\pi$ avec $k \in \mathbb{Z}$. Déterminer, en justifiant précisément, $\vecteur{TR} \cdot \vecteur{TK}$ (formule du produit scalaire avec le cosinus)
On associe au cercle trigonométrique, le repère orthonormé direct $(O;\vecteur{OI},\vecteur{OJ})$. On considère le point $A$, d'abscisse négative, appartenant au cercle trigonométrique tel que $\widehat{JOA} = 60°$
Faire une figure complète et précise. Expliquer le placement du point $A$.
Déterminer quatre mesures de $(\vecteur{OI},\vecteur{OA})$.
Déterminer la mesure principale de $(\vecteur{OI},\vecteur{OA})$. Justifier.
Est-ce que $-\dfrac{85\pi}{6}$ est une mesure $(\vecteur{OI},\vecteur{OA})$ ? Justifier.
On associe au cercle trigonométrique, le repère orthonormé direct $(O;\vecteur{OI},\vecteur{OJ})$. On considère le point $A$, d'abscisse négative, appartenant au cercle trigonométrique tel que $\widehat{JOA} = 45°$
Faire une figure complète et précise. Expliquer le placement du point $A$.
Déterminer quatre mesures de $(\vecteur{OI},\vecteur{OA})$.
Déterminer la mesure principale de $(\vecteur{OI},\vecteur{OA})$. Justifier.
Est-ce que $-\dfrac{85\pi}{4}$ est une mesure $(\vecteur{OI},\vecteur{OA})$ ? Justifier.