1G - P2 - Variables aléatoires réelles
On lance deux dés à six faces. On détermine la somme $S$ des deux faces de ces deux dès. @vs10 On définit par $S = k$, l'*{bold::évènement} aléatoire correspondant à une somme valant $k$.@vs5 $P\Big(S=k\Big)$ est donc la probabilité que l'évènement $S=k$ se réalise.
Expliquer pourquoi il s'agit d'une expérience aléatoire ?
Décrire les évènements aléatoires $S \leqslant k$ et $S \geqslant k$.
Expliquer pourquoi $P\Big(S=2\Big) = \dfrac{1}{36}$ et $P\Big(S=1\Big) = 0$
Expliquer pourquoi $P\Big(S=3\Big) = \dfrac{1}{18}$
Déterminer l'entier naturel $k$ pour que la probabilité de $P\Big(S=k\Big)$ soit la plus grande possible. Justifier précisément.
Déterminer $P\Big(S \leqslant 12\Big)$. Justifier précisément.
Décrire l'évènement $\overline{S \geqslant 4}$ puis calculer sa probabilité. Justifier précisément.
On lance deux dés à six faces un rouge et un bleu. Soit $D$ la variable aléatoire correspondant à la différence de la face rouge moins la face bleue.
Déterminer la loi de probabilités de la variable aléatoire $D$.
Décrire les évènements suivants par une phrase puis calculer leur probabilité ($n \in \N$): vspace{10} $\bullet\;D = 0$ hspace{50} $\bullet\; D \leqslant 6$ hspace{50} $\bullet\; D \not= 1$ hspace{50} $\bullet\; D > 0$ hspace{50} $\bullet\; D = -2n-1$
Pour aller à son travail, un salarié rencontre sur son trajet deux feux tricolores : @vs3 --b Si les deux feux sont verts alors son trajet est de $20$ minutes ; @vs3 --b À chaque feux orange son trajet augmente de $5$ minutes ; @vs3 --b À chaque feux rouge son trajet augmente de $4$ minutes. @vs3 vspace{10} On suppose que la couleur des feux tricolores est aléatoire. Soit $T$ la variable aléatoire correspondant à la durée du trajet de ce salarié pour aller au travail. vspace{10}
Déterminer la loi de probabilités de la variable aléatoire $T$.
Décrire les évènements suivants par une phrase puis calculer leur probabilité : vspace{10} $\bullet\;T = 20$ hspace{50} $\bullet\; T \geqslant 20$ hspace{50} $\bullet\; T \not= 20$ hspace{50} $\bullet\; T < 20$
On propose deux jeux dont les règles sont décrites ci-dessous. vspace{10} $\bullet$ Jeu $n^\circ 1$ : On lance un dé cubique équilibré numéroté de $1$ à $6$. Si on obtient $5$ ou $6$, on gagne $2$ euros, sinon on perd $1$ euro. Ensuite on lance une pièce équilibrée, si on obtient pile on gagne $1$ euro, sinon on ne gagne rien. vspace{10} $\bullet$ Jeu $n^\circ 2$ : On lance un dé tétraédrique équilibré numéroté de $1$ à $4$. Si on obtient $4$, on gagne $3$ euros, sinon on perd $1$ euro. Ensuite, on lance une pièce équilibrée, si on obtient pile on gagne $2$ euros, sinon on perd $1$ euro.
Déterminer les lois de probabilité des variables aléatoires $X$ et $Y$ donnant le gain de chacun de ces jeux.
Calculer $E(X)$, $E(Y)$, $V(X)$, $V(Y)$, $\sigma(X)$ et $\sigma(Y)$. Quel est le meilleur jeu à choisir pour un joueur ?
Paul effectue en voiture le même trajet tous les jours. Sur sa route, il y a trois feux. Une étude statistique, portant sur le nombre $X$ de feux rouges a permis d'établir les résultats suivants :
$x_i$ $0$ $1$ $2$ $3$
$P(X=x_i)$ $\frac{1}{10}$ $0,3$ $0,4$ $20\%$
Calculer $E(X)$ ; $V(X)$ et $\sigma(X)$.
Le trajet sans aucun arrêt dure $15\; min$ et chaque feu rouge rallonge la durée du trajet de $2\;min$. Soit $T$ la variable aléatoire qui donne la durée du trajet de Paul.
Quelle relation lie $X$ et $T$ ?
En déduire $E(T)$ ; $V(T)$ et $\sigma(T)$.
On considère la variable aléatoire $X$ définie par $X = \Big\{ x_1 ; x_2 ; x_3 ; x_4 ; x_5 \Big\}$. La loi de probabilités de la variable $X$ est donnée par (pour $1 \leqslant i \leqslant 5$) : @vs5
[ ['$x_i$','$x_1$','$x_2$','$x_3$','$x_4$','$x_5$'], ['$p_i = P(X = x_i)$','$p_1$','$p_2$','$p_3$','$p_4$','$p_5$'], ]
@vs20 On a : $p_1 + p_2 + p_3 + p_4 + p_5 = \displaystyle \sum_{i=1}^{i=5}p_i = 1$ @vs10 $(X=x_i)$ est l'évènement aléatoire quand la variable aléatoire $X$ vaut $x_i$ et $P(X=x_i)$ est la probabilité de cet évènement que l'on note $p_i$. @vs10 --b L'espérance mathématique de la variable $X$ est : $E(X) = p_1\times x_1 + p_2\times x_2 + p_3\times x_3 + p_4\times x_4 + p_5\times x_5 = \displaystyle \sum_{i=1}^{i=5}p_i \times x_i$ @vs5 --b La variance de $X$ est : $V(X) = \displaystyle \sum_{i=1}^{i=5}p_i \times \Big(x_i - E(X)\Big)^2$ @vs5 --b L'écart-type de $X$ est : $\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$
Pour la variable aléatoire $X^2$ définie par $X^2 = \Big\{ x_1^2 ; x_2^2 ; x_3^2 ; x_4^2 ; x_5^2 \Big\}$, déterminer $E(X^2)$
Développer $p_i \times \Big(x_i - E(X)\Big)^2$
Démontrer que $V(X) = E(X^2) - E^2(X)$
On considère la variable aléatoire $X$ définie par $X = \Big\{ x_1 ; x_2 ; x_3 ; x_4 \Big\}$. La loi de probabilités de la variable $X$ est donnée par (pour $1 \leqslant i \leqslant 4$) : @vs5
[ ['$x_i$','$x_1$','$x_2$','$x_3$','$x_4$'], ['$p_i = P(X = x_i)$','$p_1$','$p_2$','$p_3$','$p_4$'], ]
@vs20 On a : $p_1 + p_2 + p_3 + p_4 = \displaystyle \sum_{i=1}^{i=4}p_i = 1$ @vs10 On considère la variable aléatoire $Y$ définie par $Y=a\times X + b$ avec $a,b \in \R$
Donner la loi de probabilité de la variable aléatoire $Y$
Démontrer que $E(Y) = a\times E(X) + b$
Démontrer que $V(Y) = a^2\times V(X)$
En déduire la relation entre $\sigma(Y)$ et $\sigma(X)$
On considère la variable aléatoire $X$ définie par $X = \Big\{ -4 ; -3 ; 2 ; 5 \Big\}$. La loi de probabilités de la variable $X$ est donnée par (pour $1 \leqslant i \leqslant 4$) : @vs5
[ ['$x_i$','$-4$','$-3$','','$5$'], ['$p_i = P(X = x_i)$','$0.2$','$0.4$','$0.25$',''], ]
Recopier et compléter la loi de probabilités de la variable aléatoire $X$
Calculer $E(X)$ ; $V(X)$ et $\sigma(X)$
Pour aller à son travail, un salarié rencontre sur son trajet deux feux tricolores : @vs3 --b Si les deux feux sont verts alors son trajet est de $20$ minutes ; @vs3 --b À chaque feux orange son trajet augmente de $5$ minutes ; @vs3 --b À chaque feux rouge son trajet augmente de $4$ minutes. @vs3 vspace{10} On suppose que la couleur des feux tricolores est aléatoire. Soit $T$ la variable aléatoire correspondant à la durée du trajet de ce salarié pour aller au travail. vspace{10}
Déterminer la loi de probabilités de la variable aléatoire $T$.
Décrire les évènements suivants par une phrase puis calculer leur probabilité : vspace{10} $\bullet\;T = 20$ hspace{50} $\bullet\; T \geqslant 20$ hspace{50} $\bullet\; T \not= 20$ hspace{50} $\bullet\; T < 20$
Calculer $E(T)$ ; $V(T)$ et $\sigma(T)$. Interpréter.
Paul effectue en voiture le même trajet tous les jours. Sur sa route, il y a trois feux. Une étude statistique, portant sur le nombre $X$ de feux rouges a permis d'établir les résultats suivants :
$x_i$ $0$ $1$ $2$ $3$
$P(X=x_i)$ $\frac{1}{10}$ $0,3$ $0,4$ $20\%$
Calculer $E(X)$ ; $V(X)$ et $\sigma(X)$.
Le trajet sans aucun arrêt dure $15\; min$ et chaque feu rouge rallonge la durée du trajet de $2\;min$. Soit $T$ la variable aléatoire qui donne la durée du trajet de Paul.
Quelle relation lie $X$ et $T$ ?
En déduire $E(T)$ ; $V(T)$ et $\sigma(T)$.