1G - F2 - Variations et courbes
Démontrer que la fonction $f$ définie par $f : x \mapsto 3 - \dfrac{1}{6}x$ est décroissante sur $\mathbb{R}$.
Démontrer que la fonction $g$ définie par $g : x \mapsto \sqrt{3}x - \sqrt{2}$ est croissante sur $\mathbb{R}$.
Démontrer que la fonction $m$ définie par $m : x \mapsto ax + b$ est croissante sur $\mathbb{R}$ si $a > 0$ ; décroissante sur $\mathbb{R}$ si $a < 0$ et constante sur $\mathbb{R}$ si $a = 0$.
On considère la fonction $g$ définie par $g : x \mapsto -3x^2 + 2$.
Déterminer l'ensemble de définition de $g$.
Soient deux réels $a$ et $b$ tels que $a \leqslant b$
a. @hs5 Déterminer le signe de $(a-b)$
b. @hs5 Démontrer que $g(a) - g(b) = -3(a-b)(a+b)$
Déterminer un intervalle $I_1$ tel que $a \in I_1$ ; $b \in I_1$ et $(a+b) \geqslant 0$
Déterminer les variations de $g$ sur l'intervalle $I_1$
Déterminer un intervalle $I_2$ tel que $a \in I_2$ ; $b \in I_2$ et $(a+b) \leqslant 0$
Déterminer les variations de $g$ sur l'intervalle $I_2$
Construire le tableau de variations de $g$ sur son ensemble de définition.
Démontrer que la fonction $f$ définie par $f : x \mapsto \Big|1-x\Big|$ est croissante sur $[1;+\infty[$.
Démontrer que la fonction $f:x\mapsto \dfrac{-2}{x-3}$ est croissante sur $I = ]3;+\infty[$
On considère la fonction définie par $f : x \mapsto x^3 -3x^2 - 24x - 20 $
Donner l'ensemble de définition de $f$ ainsi que son ensemble de dérivabilité.
En utilisant la formule du produit, démontrer que $\Big[ x^3\Big]'=3x^2$
Déterminer la fonction dérivée de la fonction $f$.
Déterminer l'équation réduite de la tangente $(T_0)$ au point d'abscisse $0$. Justifier.
En utilisant la calculatrice, déterminer le tableau de variations de la fonction $f$.
Déterminer le signe (en faisant un tableau de signes) de $f'(x)$ pour $x \in \R$
Expliquer le lien entre le signe de $f'(x)$ et le tableau de variations de $f$.
Résoudre $f'(x) = 0$. Que se passe-t-il en ces antécédents ?
Déterminer une racine évidente du polynôme $x^3 -3x^2 - 24x - 20$.
Factoriser le polynôme $x^3 -3x^2 - 24x - 20$.
Résoudre $f(x) \leqslant 0$.
On considère la fonction définie par $f : x \mapsto x^4 -10x^2 + 9 $
Donner l'ensemble de définition de $f$ ainsi que son ensemble de dérivabilité.
En utilisant la formule du produit, démontrer que $\Big[ x^4\Big]'=4x^3$
Déterminer la fonction dérivée de la fonction $f$.
En utilisant la calculatrice, déterminer le tableau de variations de la fonction $f$.
Factoriser $f'(x)$ (trois facteurs)
Déterminer le signe (en faisant un tableau de signes) de $f'(x)$ pour $x \in \R$
Expliquer le lien entre le signe de $f'(x)$ et le tableau de variations de $f$.
Résoudre $f'(x) = 0$. Que se passe-t-il en ces antécédents ?
Factoriser le polynôme $x^4 -10x^2 + 9$.
Résoudre $f(x) \geqslant 0$.
On considère la fonction $f$ définie par $f:x\mapsto f(x) = \Big | 1 - x^2 \Big |$ sur $\R$ et dérivable sur $]-\infty;-1[ \cup ]-1;1[\cup]1;+\infty[$.
Démontrer que $f(x) = 1 - x^2$ pour $x \in [-1;1]$ et que $f(x) = x^2 - 1$ pour $x \in ]-\infty;-1]\cup [1;+\infty[$
Construire le tableau de variations de la fonction $f$.
Expliquer pourquoi la fonction $f$ n'est pas dérivable en $-1$ et $1$.
On considère la fonction $f$ définie par $f:x\mapsto f(x) = -\sqrt{16-x^2}$ de courbe représentative $\mathcal{C}_f$.
Déterminer l'ensemble de définition et l'ensemble de dérivabilité de $f$.
Construire le tableau de variations de la fonction $f$.
Démontrer que $\mathcal{C}_f$ est un demi-cercle. Préciser son centre et rayon.
Soit la fonction $g$ définie par : $g(x) = -6x -3x^2 + 3$ de représentation graphique $\mathcal{C}_g$.
Établir le tableau de variations de la fonction $g$ puis tracer $\mathcal{C}_g$. Justifier.
Déterminer la dérivée $g'$ de la fonction $g$.
Déterminer le signe de $g'(x)$.
Existe-t-il un lien entre les questions --1 et --3 ? Si oui lequel ?
Déterminer le coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse $a=2$. Justifier.
Déterminer l'équation réduite de la tangente au point d'abscisse $a=2$. Tracer cette tangente. Justifier.
Soit la fonction $g$ définie par : $g(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 10$ de représentation graphique $\mathcal{C}_g$.
À partir de $\mathcal{C}_g$ (utiliser la calculatrice), établir le tableau de variations de la fonction $g$.
Déterminer la dérivée $g'$ de la fonction $g$.
Déterminer le signe de $g'(x)$. On pourra faire un tableau de signes de $g'(x)$. Justifier précisément.
Existe-t-il un lien entre les questions --1 et --3 ? Si oui lequel ?
Déterminer le coefficient directeur de la tangente à $\mathcal{C}_g$ au point d'abscisse $a=1$. Justifier.
Déterminer l'équation réduite de la tangente à $\mathcal{C}_g$ au point d'abscisse $a=1$. Tracer cette tangente. Justifier.
Existe-t'il des tangentes à $\mathcal{C}_g$ horizontale ? Si oui en quelles abscisses. Justifier.
On considère une boîte de conserve classique de forme cylindrique. Pour un volume $\mathcal{V}$ donné, on souhaite minimiser la quantité de métal utilisé pour confectionner cette boîte. On note $r$ le rayon de la base et $h$ la hauteur.
Démontrer que la surface $\mathcal{S}$ de métal utilisé est : $\displaystyle \mathcal{S}(r) = 2\pi r^2 + \frac{2\mathcal{V}}{r}$
Étudier la fonction $\mathcal{S}$ sur son ensemble de définition, que l'on précisera.
En déduire les dimensions de la boîte répondant au problème.
On considère la fonction $f$ définie par $f:x\mapsto f(x) = x^3-10 x^2+29 x-20$ de représentation graphique $\mathcal{C}_f$.
Construire le tableau de variations de la fonction $f$.
Factoriser $f(x)$
Résoudre par le calcul $f(x) \leqslant 0$.
Sans faire de calcul, démontrer que $f(3.64) > f(3.98)$
Sans faire de calcul, démontrer que $f(0.12) < f(0.125)$
Déterminer l'équation de la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $-2$
Déterminer les points où la tangente à $\mathcal{C}_f$ est horizontale.
On considère la fonction $f$ définie par $f:x\mapsto f(x) = -x^3+4 x^2-x-6$ de représentation graphique $\mathcal{C}_f$.
Construire le tableau de variations de la fonction $f$. Justifier précisément.
Factoriser $f(x)$
Résoudre par le calcul $f(x) \geqslant 0$.
Sans faire de calcul, démontrer que $f(-1.43) > f(-0.98)$
Sans faire de calcul, démontrer que $f(0.8756) < f(1.12)$
Déterminer l'équation de la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $1$
Déterminer les points où la tangente à $\mathcal{C}_f$ est horizontale.
On considère la fonction $f$ définie par $f : x \mapsto \sqrt{2 - x^2}$.
Déterminer l'ensemble de définition de $f$ ainsi que son ensemble de dérivabilité.
Déterminer la dérivée de $f$.
Construire le tableau de variation de $f$.
Soit la fonction $g$ définie par : $g: x \mapsto -2x^3 +6x^2 +18x + 10$ de représentation graphique $\mathcal{C}_g$.
Déterminer la dérivée $g'$ de la fonction $g$.
Déterminer le signe de $g'(x)$. Justifier précisément.
Construire le tableau de variation de $g$
Déterminer le coefficient directeur de la tangente à $\mathcal{C}_g$ au point d'abscisse $a=1$. Justifier.
Déterminer l'équation réduite de la tangente à $\mathcal{C}_g$ au point d'abscisse $a=1$. Justifier.
Existe-t'il des tangentes à $\mathcal{C}_g$ horizontale ? Si oui en quelles abscisses. Justifier.
Soit la fonction $f$ définie par : $f: x \mapsto 2x^4 - 8x + 1$ de représentation graphique $\mathcal{C}_f$.
Déterminer la dérivée $f'$ de la fonction $f$.
Déterminer le signe de $f'(x)$. Justifier précisément.
Construire le tableau de variation de $f$.
Déterminer l'équation réduite de la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $a=0$. Justifier.
Démontrer que $f$ possède un minimum. Préciser sa valeur et en quelle abscisse.
On considère la fonction $f$ définie par $f : x \mapsto x^4-5x^2+4$ de représentation graphique $\mathcal{C}_f$.
Donner l'ensemble de définition et de dérivabilité de $f$.
En utilisant la formule du produit, déterminer la fonction dérivée de $x \mapsto x^4$
Déterminer la fonction dérivée de la fonction $f$.
Déterminer le signe de $f'(x)$.
En déduire le tableau de variation de la fonction $f$.
On pose $X = x^2$. Déterminer l'expression alégébrique de $g$ telle que $g(X) = f(x)$. Factoriser $g(X)$. En déduire la factorisation de $f(x)$
Résoudre $f(x) \leqslant 0$.
Déterminer l'équation de la tangente $(d)$ en $-1$.
Déterminer l'équation de la tangente $(\Delta)$ en $1$.
Les droites $(d)$ et $(\Delta)$ sont-elles sécantes ? Si oui déterminer les coordonnées du point d'intersection.
Combien y-a-t'il de tangentes horizontale ? Déterminer leur équation.
On considère la fonction $f$ définie par : $ f: x \mapsto 2x^3 - 6x^2 +4$ de représentation graphique $\mathcal{C}$
Déterminer la fonction dérivée de la fonction $f$ (rappel : $[x^3]' = 3x^2$)
Déterminer le signe de $f'(x)$. Justifier.
Avec la calculatrice, constuire le tableau de variations de la fonction $f$. Justifier.
Donner le lien entre le tableau de variations de $f$ et le signe de $f'(x)$
Donner le lien entre les extremums locaux de $f$ et $f'(x)$
Déterminer l'équation réduite de la tangente $(d)$ à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $1$
Déterminer l'équation réduite de la tangente $(\Delta)$ à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $-1$
Démontrer que $(d)$ et $(\Delta)$ sont sécantes.
Déterminer les coordonnées du point d'intersection de $(d)$ et $(\Delta)$.
On considère la fonction $f$ définie par $f : x \mapsto -x^4+10x^2-9$ de représentation graphique $\mathcal{C}_f$.
Donner l'ensemble de définition et de dérivabilité de $f$.
En utilisant la formule du produit, déterminer la fonction dérivée de $x \mapsto x^4$
Déterminer la fonction dérivée de la fonction $f$.
Déterminer le signe de $f'(x)$.
En déduire le tableau de variation de la fonction $f$.
On pose $X = x^2$. Déterminer l'expression alégébrique de $g$ telle que $g(X) = f(x)$. Factoriser $g(X)$. En déduire la factorisation de $f(x)$
Résoudre $f(x) \geqslant 0$.
Déterminer l'équation de la tangente $(d)$ en $-1$.
Déterminer l'équation de la tangente $(\Delta)$ en $1$.
Les droites $(d)$ et $(\Delta)$ sont-elles sécantes ? Si oui déterminer les coordonnées du point d'intersection.
Combien y-a-t'il de tangentes horizontale ? Déterminer leur équation.
On considère la fonction $f$ définie par : $ f: x \mapsto 2x^3 - 6x^2 +4$ de représentation graphique $\mathcal{C}$
Dresser le tableau de variations de la fonction $f$
Déterminer les extremum de la fonction $f$. Justifier.
Déterminer l'équation réduite de la tangente $(d)$ à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $1$
Déterminer l'équation réduite de la tangente $(\Delta)$ à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $-1$
Démontrer que $(d)$ et $(\Delta)$ sont sécantes.
Déterminer les coordonnées du point d'intersection de $(d)$ et $(\Delta)$.
On considère la fonction $f$ définie par $f: x \mapsto ax^3 + bx^2 + cx + d$ où $a$ ; $b$ ; $c$ et $d$ sont quatre paramètres. $\mathcal{C}_f$ est la représentation graphique de la fonction $f$. @vs5 On considère, de plus, la fonction $g$ définie par $g : x \mapsto 6x^2 + 12x - 18$. @vs10 *{italic::Toutes les réponses devront être justifiées avec précision.} @vs10
Déterminer le signe de $g(x)$.
Déterminer les paramètres $a$ ; $b$ ; $c$ et $d$ pour que $f'(x) = g(x)$ et $A(-1;2) \in \mathcal{C}_f$
Construire le tableau de variations de la fonction $f$.
Déterminer les extremums locaux de $f$.
Déterminer l'équation réduite de la tangente à $\mathcal{C}_f$ passant par $A$.
On considère la fonction $f$ définie par $f(x) = \dfrac{x^2 - 4}{x^2-9}$ de courbe représentative $\mathcal{C}_f$ dans un repère orthonormé d'unité graphique $2\;cm$.
Déterminer l'ensemble de définition et de dérivabilité de $f$.
Déterminer la dérivée $f'$ de $f$.
Déterminer le signe de $f'(x)$ puis dresser le tableau de variations de $f$.
Démontrer que $f$ possède un extremum. Préciser sa valeur.
Résoudre l'équation $f(x) = -1$.
Déterminer l'équation de la tangente $(d)$ à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $-2$.
Déterminer l'équation de la tangente $(\Delta)$ à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $2$.
Tracer $\mathcal{C}_f$, $(d)$ et $(\Delta)$.
Déterminer, par le calcul, les coordonnées du point $C$ intersection de $(d)$ et $(\Delta)$.
On considère la fonction $f$ définie par $f: x \mapsto \dfrac{x^2 - 4}{x^2+2}$ de courbe représentative $\mathcal{C}_f$ dans un repère orthonormé.@vs10 On considére, de plus, les points $A(-2;0)$ et $B(2;0)$.
Déterminer l'ensemble de définition et de dérivabilité de $f$.
Déterminer la dérivée $f'$ de $f$.
Déterminer le signe de $f'(x)$ puis dresser le tableau de variations de $f$.
Démontrer que $f$ possède un extremum. Préciser sa nature et sa valeur.
Résoudre l'équation $f(x) = -1$.
Résoudre l'inéquation $f(x) \geqslant 0$.
Déterminer l'équation de la tangente $T_{-2}$ à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $-2$.
Déterminer l'équation de la tangente $T_2$ à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $2$.
Déterminer, par le calcul, les coordonnées du point $C$ intersection de $T_{-2}$ et $T_2$.
Quelle est la nature de $ABC$ ?
Tracer $\mathcal{C}_f$ , $T_{-2}$ , $T_{2}$ et $ABC$.
On considère la fonction $f$ définie par $f: x \mapsto \dfrac{x^2+9x-10}{x^2-5x+4}$ de courbe représentative $\mathcal{C}_f$ dans un repère orthonormé.
Déterminer l'ensemble de définition et de dérivabilité de $f$.
Déterminer la dérivée $f'$ de $f$.
Déterminer le signe de $f'(x)$ puis dresser le tableau de variations de $f$.
Résoudre l'inéquation $f(x) \leqslant 0$.
Déterminer l'équation de la tangente $T_{7}$ à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $7$.
Déterminer l'équation de la tangente $T_1$ à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $1$.
Déterminer, par le calcul, les coordonnées du point $C$ intersection de $T_{7}$ et $T_1$.
Tracer $\mathcal{C}_f$ , $T_{7}$ , $T_{1}$.
Que dire de $T_{7}$ et de $T_{1}$ ? Justifier.
On considère la fonction $f$ définie par $f:x\mapsto f(x) = -x^3+4 x^2-x-6$ de représentation graphique $\mathcal{C}_f$.
Résoudre graphiquement $f(x) = 0$. Justifier précisément.
Résoudre graphiquement $f(x) \geqslant 0$. Justifier précisément.
Construire le tableau de variations de la fonction $f$. Justifier précisément.
Factoriser $f(x)$
Résoudre par le calcul $f(x) \geqslant 0$.
Sans faire de calcul, démontrer que $f(-1.43) > f(-0.98)$
Sans faire de calcul, démontrer que $f(0.8756) < f(1.12)$
Déterminer l'équation de la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $1$
Déterminer les points où la tangente à $\mathcal{C}_f$ est horizontale.
On considère la fonction $f$ définie par $f:x\mapsto f(x) = \Bigg | \dfrac{x^2-1}{x^2-4} \Bigg |$
Déterminer l'ensemble de définition et l'ensemble de dérivabilité de la fonction $f$.
Démontrer que $f(x) = \dfrac{1-x^2}{x^2-4}$ pour $x \in ]-2;-1]\cup [1;2[$ et que $f(x) = \dfrac{x^2-1}{x^2-4}$ pour $x \in ]-\infty;-2[\cup [-1;1] \cup ]2;+\infty[$
Construire le tableau de variations de la fonction $f$.
On considère la fonction $f$ définie par $f:x\mapsto f(x) = \Big | x^2+x-6 \Big |$ sur $\R$ et dérivable sur $]-\infty;-3[ \cup ]-3;2[\cup]2;+\infty[$.
Démontrer que $f(x) = 6 -x -x^2$ pour $x \in [-3;2]$ et que $f(x) = x^2 +x -6$ pour $x \in ]-\infty;-3]\cup [2;+\infty[$
Construire le tableau de variations de la fonction $f$.
Expliquer pourquoi la fonction $f$ n'est pas dérivable en $-3$ et $2$.
Tracer la représentation graphique $\mathcal{C}_f$ de la fonction $f$.
On considère la fonction $f$ définie par $f:x\mapsto f(x) = \Bigg | \dfrac{x^2-1}{x^2+2} \Bigg |$ sur $\R$ et dérivable sur $]-\infty;-1[ \cup ]-1;1[\cup]1;+\infty[$.
Démontrer que $f(x) = \dfrac{1-x^2}{x^2+2}$ pour $x \in [-1;1]$ et que $f(x) = \dfrac{x^2-1}{x^2+2}$ pour $x \in ]-\infty;-1]\cup [1;+\infty[$
Construire le tableau de variations de la fonction $f$.
Expliquer pourquoi la fonction $f$ n'est pas dérivable en $-1$ et $1$.
Démontrer que $0 \leqslant f(x) < 1$ pour tout $x \in \R$
On considère la fonction $f$ définie par $f:x\mapsto f(x) = -\sqrt{2-x^2}$ de courbe représentative $\mathcal{C}_f$.
Déterminer l'ensemble de définition et l'ensemble de dérivabilité de $f$.
Construire le tableau de variations de la fonction $f$.
Démontrer que $\mathcal{C}_f$ est un demi-cercle. Préciser son centre et rayon.
On considère la fonction définie par $f : x \mapsto \dfrac{-2}{x^2 + 4}$. Déterminer le tableau de variations de $f$.
On considère la fonction définie par $f : x \mapsto \dfrac{-2}{x^2 + 3x + 4}$. Déterminer le tableau de variations de $f$.
On considère la fonction $f$ définie par $f : x \mapsto \dfrac{x^2-4}{2 - x^2}$
Déterminer l'ensemble de définition de $f$. Justifier.
Déterminer l'ensemble de dérivabilité de $f$. Justifier.
En utilisant la formule du quotient, déterminer la fonction dérivée de la fonction $f$.
Faire un tableau de signes de $f'(x)$
En déduire le tableau de variations de la fonction $f$.
On considère la fonction $f$ définie par $f : x \mapsto \sqrt{-x^2 + 5x +14}$
Déterminer l'ensemble de définition et l'ensemble de dérivabilité de $f$. Justifier.
Déterminer la fonction dérivée de la fonction $f$.
Faire un tableau de signes de $f'(x)$
En déduire le tableau de variations de la fonction $f$.
Déterminer l'équation réduite de la tangente en $-2$.
On considère la fonction $f$ définie par $f : x \mapsto \dfrac{x^2-5x - 6}{x^2-6x + 5}$. @vs20 On considère les réels $\alpha = 11 - 2\sqrt{15}$ et $\beta = 11 + 2\sqrt{15}$
Déterminer l'ensemble de définition et l'ensemble de dérivabilité de $f$. Justifier.
En utilisant la formule du quotient, déterminer la fonction dérivée de la fonction $f$.
Faire un tableau de signes de $f'(x)$
En déduire le tableau de variations de la fonction $f$.
Déterminer les équations réduites des tangentes en $\alpha$ et $\beta$
On considère la fonction $f$ définie par $f : x \mapsto (3-x^2)\sqrt{9-x^2}$.
Déterminer l'ensemble de définition et l'ensemble de dérivabilité de $f$. Justifier.
Déterminer la fonction dérivée de la fonction $f$.
Faire un tableau de signes de $f'(x)$
En déduire le tableau de variations de la fonction $f$.
Expliquer pourquoi la fonction $f$ possède deux minimums locaux. Préciser leur valeur.
Expliquer pourquoi la fonction $f$ possède un maximum local. Préciser sa valeur.
On considère la fonction $f$ définie par $f : x \mapsto \Big| x^2-2x-8 \Big |$.
Déterminer l'ensemble de définition et l'ensemble de dérivabilité de $f$. Justifier.
Déterminer la fonction dérivée de la fonction $f$.
Faire un tableau de signes de $f'(x)$
En déduire le tableau de variations de la fonction $f$.
Déterminer l'équation réduite de la tangente en $2$.
Déterminer l'équation réduite de la tangente en $-2$.
On considère la fonction $f$ définie par $f : x \mapsto \Big| x^2-2x-1 \Big |$ et les réels $\alpha = 1-\sqrt{2}$ et $\beta = 1+\sqrt{2}$.
Déterminer l'ensemble de définition et l'ensemble de dérivabilité de $f$. Justifier.
Déterminer la fonction dérivée de la fonction $f$.
Faire un tableau de signes de $f'(x)$
En déduire le tableau de variations de la fonction $f$.
Déterminer l'équation réduite des tangentes en $\alpha$ et en $\beta$.
Déterminer l'équation réduite de la tangente en $2$.
On considère la fonction $f$ définie par $f : x \mapsto (2x-x^2)\sqrt{4-x}$.
Déterminer l'ensemble de définition et l'ensemble de dérivabilité de $f$. Justifier.
Déterminer la fonction dérivée de la fonction $f$.
Faire un tableau de signes de $f'(x)$
En déduire le tableau de variations de la fonction $f$.
Expliquer pourquoi la fonction $f$ possède un minimum local. Préciser sa valeur.
Expliquer pourquoi la fonction $f$ possède un maximum. Préciser sa valeur.
On considère la fonction $f$ définie par $f : x \mapsto \dfrac{5-4x}{3x}$ de représentation graphique $\mathcal{C}_f$. @vs5 *{italic::Toutes les réponses devront être justifiées avec précision.} @vs5
Déterminer l'ensemble de définition et l'ensemble de dérivabilité de $f$.
Déterminer le tableau de variations de la fonction $f$ en indiquant bien toutes les étapes.
Déterminer l'équation réduite de la tangente $T_1$ à $\mathcal{C}_f$ en $1$.
On considère le point $A$ d'ordonnée $-2$ tel que $A \in \mathcal{C}_f$. Déterminer les coordonnées de $A$.
On considère le point $B$ d'abscisse $-1$ tel que $B \in \mathcal{C}_f$. Déterminer les coordonnées de $B$.
Déterminer les réels $\alpha$ et $\beta$ pour que les tangentes $T_\alpha$ et $T_\beta$ à $\mathcal{C}_f$ en $\alpha$ et $\beta$ soient parallèles à $(AB)$. Préciser bien la démarche.
Dans un même repère, tracer $\mathcal{C}_f$, $(AB)$, $T_\alpha$ et $T_\beta$
On considère la suite numérique $(a_n)$ définie par $a_n = -\dfrac{4}{3} - f(10^n)$ pour tout $n \in \N$. Démontrer que $(a_n)$ est une suite géométrique. Préciser sa raison et son premier terme.
Déterminer la limite de $(a_n)$ puis calculer $\displaystyle \sum_{k=0}^{k=n}a_k$
Que peut-on en déduire concernant la limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers $+\infty$ ? Que se passe-t-il pour $\mathcal{C}_f$ ?
On considère la suite numérique $(b_n)$ définie par $b_n = f(-10^n)+\dfrac{4}{3}$ pour tout $n \in \N$. Démontrer que $b_n = a_n$ pour tout $n \in \N$
Que peut-on en déduire concernant la limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers $-\infty$ ? Que se passe-t-il pour $\mathcal{C}_f$ ?
On considère la fonction $f$ définie par : $ f: x \mapsto \dfrac{x^2+2x-8}{-2x^2-2x+4}$ de représentation graphique $\mathcal{C}$.@vs10 On pose $\alpha = 6-2\sqrt{10}$ et $\beta = 6+2\sqrt{10}$.
Dresser le tableau de variations de la fonction $f$. Justifier en indiquant précisément toutes les étapes.
Déterminer les extremum de la fonction $f$. Justifier.
Déterminer l'équation réduite de la tangente $(d)$ à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $2$.
Déterminer l'équation réduite de la tangente $(d)$ à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $\alpha$.
Déterminer par le calcul les abscisses des points de la courbe $\mathcal{C}$ situés au dessus de l'axe des abscisses.
On considère la fonction $f$ définie par : $ f: x \mapsto \dfrac{x^2-2x-3}{10-x^2}$ de représentation graphique $\mathcal{C}$
Dresser le tableau de variations de la fonction $f$. Justifier en indiquant précisément toutes les étapes.
Déterminer les extremum de la fonction $f$. Justifier.
Déterminer l'équation réduite de la tangente $(d)$ à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $-2$
Déterminer par le calcul les abscisses des points de la courbe $\mathcal{C}$ situés au dessus de l'axe des abscisses.
On considère la fonction $f$ définie par : $ f: x \mapsto 2x^3 - 6x^2 +4$ de représentation graphique $\mathcal{C}$
Dresser le tableau de variations de la fonction $f$
Déterminer les extremum de la fonction $f$. Justifier.
Déterminer l'équation réduite de la tangente $(d)$ à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $1$
Déterminer l'équation réduite de la tangente $(\Delta)$ à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $-1$
Démontrer que $(d)$ et $(\Delta)$ sont sécantes.
Déterminer les coordonnées du point d'intersection de $(d)$ et $(\Delta)$.
On considère la fonction $f$ définie par $f : x \mapsto \dfrac{10x-2}{x}$ de représentation graphique $\mathcal{C}_f$. @vs5 *{italic::Toutes les réponses devront être justifiées avec précision.} @vs5
Déterminer l'ensemble de définition et l'ensemble de dérivabilité de $f$.
Déterminer le tableau de variations de la fonction $f$ en indiquant bien toutes les étapes.
Déterminer l'équation réduite de la tangente $T_1$ à $\mathcal{C}_f$ en $1$.
Déterminer l'équation réduite de la tangente $T_{-2}$ à $\mathcal{C}_f$ en $-2$.
On considère le point $A$ d'ordonnée $6$ tel que $A \in \mathcal{C}_f$. Déterminer les coordonnées de $A$.
On considère le point $B$ d'abscisse $4$ tel que $B \in \mathcal{C}_f$. Déterminer les coordonnées de $B$.
Déterminer les réels $\alpha$ et $\beta$ pour que les tangentes $T_\alpha$ et $T_\beta$ à $\mathcal{C}_f$ en $\alpha$ et $\beta$ soient parallèles à $(AB)$. Préciser bien la démarche.
Dans un même repère, tracer $\mathcal{C}_f$, $(AB)$, $T_\alpha$ et $T_\beta$
On considère la suite numérique $(a_n)$ définie par $a_n = 10 - f(10^n)$ pour tout $n \in \N$. Démontrer que $(a_n)$ est une suite géométrique. Préciser sa raison et son premier terme.
Déterminer la limite de $(a_n)$ puis calculer $\displaystyle \sum_{k=0}^{k=n}a_k$
Que peut-on en déduire concernant la limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers $+\infty$ ? Que se passe-t-il pour $\mathcal{C}_f$ ?
On considère la suite numérique $(b_n)$ définie par $b_n = f(-10^n)-10$ pour tout $n \in \N$. Démontrer que $b_n = a_n$ pour tout $n \in \N$
Que peut-on en déduire concernant la limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers $-\infty$ ? Que se passe-t-il pour $\mathcal{C}_f$ ?
On considère la fonction $f$ définie par $f : x \mapsto (x^2-4)\sqrt{16-x^2}$.
Déterminer l'ensemble de définition et l'ensemble de dérivabilité de $f$. Justifier.
Déterminer la fonction dérivée de la fonction $f$.
Faire un tableau de signes de $f'(x)$
En déduire le tableau de variations de la fonction $f$.
Expliquer pourquoi la fonction $f$ possède un minimum local. Préciser sa valeur.
Expliquer pourquoi la fonction $f$ possède deux maximums locaux. Préciser leur valeur.
On considère la fonction $f$ définie par $f : x \mapsto \Big| x^2-x-12 \Big |$.
Déterminer l'ensemble de définition et l'ensemble de dérivabilité de $f$. Justifier.
Déterminer la fonction dérivée de la fonction $f$.
Faire un tableau de signes de $f'(x)$
En déduire le tableau de variations de la fonction $f$.
Déterminer l'équation réduite de la tangente en $2$.
Déterminer l'équation réduite de la tangente en $-3$.
On considère la fonction $f$ définie par $f : x \mapsto (x^2-1)\sqrt{16-x^2}$.
Déterminer l'ensemble de définition et l'ensemble de dérivabilité de $f$. Justifier.
Déterminer la fonction dérivée de la fonction $f$. On pourra factoriser le numérateur par $3x$.
Faire un tableau de signes de $f'(x)$
En déduire le tableau de variations de la fonction $f$.
Expliquer pourquoi la fonction $f$ possède un minimum local. Préciser sa valeur.
Expliquer pourquoi la fonction $f$ possède deux maximums locaux. Préciser leur valeur.
On considère la fonction $f$ définie par $f : x \mapsto \dfrac{x^2-5x - 6}{x^2-6x + 5}$. @vs20 On considère les réels $\alpha = 11 - 2\sqrt{15}$ et $\beta = 11 + 2\sqrt{15}$
Déterminer l'ensemble de définition et l'ensemble de dérivabilité de $f$. Justifier.
En utilisant la formule du quotient, déterminer la fonction dérivée de la fonction $f$.
Faire un tableau de signes de $f'(x)$
En déduire le tableau de variations de la fonction $f$.
Expliquer pourquoi la fonction $f$ possède un minimum local en $\alpha$. Préciser sa valeur.
Expliquer pourquoi la fonction $f$ possède un maximum local en $\beta$. Préciser sa valeur.
On considère la fonction $f$ définie par $f : x \mapsto \dfrac{x^2-4x - 5}{x^2-5x + 4}$. @vs20 On considère les réels $\alpha = 9 - 2\sqrt{10}$ et $\beta = 9 + 2\sqrt{10}$
Déterminer l'ensemble de définition et l'ensemble de dérivabilité de $f$. Justifier.
En utilisant la formule du quotient, déterminer la fonction dérivée de la fonction $f$.
Faire un tableau de signes de $f'(x)$
En déduire le tableau de variations de la fonction $f$.
Expliquer pourquoi la fonction $f$ possède un minimum local en $\alpha$. Préciser sa valeur.
Expliquer pourquoi la fonction $f$ possède un maximum local en $\beta$. Préciser sa valeur.
On considère la fonction $f$ définie par $f: x \mapsto ax^3 + bx^2 + cx + d$ ($a$ ; $b$ ; $c$ et $d$ sont quatre paramètres). $\mathcal{C}_f$ est la représentation graphique de la fonction $f$. @vs5 On considère, de plus, la fonction $g$ définie par $g : x \mapsto 6x^2 + 12x - 18$. @vs5 *{italic::Toutes les réponses devront être justifiées avec précision.}
Déterminer le signe de $g(x)$.
Déterminer les paramètres $a$ ; $b$ ; $c$ et $d$ pour que $f'(x) = g(x)$ et $A(-1;2) \in \mathcal{C}_f$
Construire le tableau de variations de la fonction $f$.
Déterminer les extremums locaux de $f$.
Déterminer l'équation réduite de la tangente à $\mathcal{C}_f$ passant par $A$.