2d - A3 - Représenter des fonctions
On considère la fonction $h$ suivante : $ h(x) = (x-1)^2+2 $
Quelle est l'image de $-1$ par la fonction $h$ ?
Donner un antécédent de $2$ par la fonction $h$
Recopier et compléter : $h(-2) = \ldots\ldots\ldots$
Recopier et compléter : $h(\ldots\ldots) = 3 $.
Recopier et compléter : $h(3) = \ldots\ldots $.
En utilisant les questions $1.$ ; $2.$ ; $3.$ ; $4.$ et $5.$, construire un tableau de valeurs de la fonction $h$.
Tracer la représentation graphique de la fonction $h$.
Représenter une fonction graphiquement
On considère la fonction $g$ définie par $g : x \mapsto x^2 - 6x + 8$
Donner l'expression algébrique de la fonction $g$.
Recopier et compléter le tableau suivant : @vs5
[ ['$x$','$0$','$1$','$2$','$3$', '$4$', '$5$','$6$'], ['$g(x)$','','','','','','',''], ['Point','','','','','','',''], ]
Tracer la représentation graphique $\mathcal{C}_g$ de la fonction $g$. Utiliser la caculatrice pour la "prolonger".
Factoriser $g(x)$
Résoudre $g(x) = 0$. Que se passe-t'il pour $\mathcal{C}_g$ ?
En faisant un tableau de signe, résoudre $g(x) < 0$. Que se passe-t'il pour $\mathcal{C}_g$ ?
Résoudre graphiquement $g(x) < 8$. On pourra tracer la représentation graphique de la fonction $f: x \mapsto 8$.
Représenter une fonction graphiquement
On considère la fonction $g$ définie par $g : x \mapsto 4x^2 -32x+ 60$
Donner l'expression algébrique de la fonction $g$.
Déterminer l'image de $-4$ par la fonction $g$.
Déterminer un antécédent de $32$ par la fonction $g$.
En utilisant la calculatrice, tracer la représentation graphique $\mathcal{C}_g$ de la fonction $g$.
Factoriser $g(x)$
Résoudre $g(x) = 0$. Que se passe-t'il pour $\mathcal{C}_g$ ?
En faisant un tableau de signe, résoudre $g(x) \geqslant 0$. Que se passe-t'il pour $\mathcal{C}_g$ ?
Représenter une fonction graphiquement
On considère les fonctions $g$ définie par $g : x \mapsto -2x^2+4x + 6$ et $f: x \mapsto 6$
Donner l'expression algébrique de la fonction $g$.
Déterminer l'image de $5$ par la fonction $g$.
Déterminer un antécédent de $-10$ par la fonction $g$.
En utilisant la calculatrice, tracer la représentation graphique $\mathcal{C}_g$ de la fonction $g$.
Dans le même repère que précédemment, tracer la eprésentation graphique $\mathcal{C}_f$ de la fonction $f$. Expliquer cette construction.
Démontrer que $g(x) = (x+1)(6 - 2x)$
Résoudre $g(x) = 0$. Que se passe-t'il pour $\mathcal{C}_g$ ?
En faisant un tableau de signe, résoudre $g(x) \leqslant 0$. Que se passe-t'il pour $\mathcal{C}_g$ ?
Résoudre graphiquement $g(x) > 6 $. Expliquer précisément.
On considère la fonction $n$ définie par $n(x) = x^2-2x-8$ dont voici un tableau de valeurs : @vs5
[ ['$x$','$-3$','$-1$','$0$','', '$2$', '$2.5$' , '$3$' , '$4$' , '$5$'], ['$n(x)$','$7$','','','', '' , '','','',''], ['point','$A$','$B$','$C$','$D$', '$E$' , '$F$', '$G$' , '$H$', '$K$'], ]
@vs5 Recopier et compléter le tableau et le graphique ci-dessus (placer les points manquants). Tracer la représentation graphique $\mathcal{C}_n$ de la fonction $n$.
On considère la fonction $k$ dont voici un tableau de valeurs : @vs5
[ ['$x$','$-1.5$','$-1$','$0$','0.5', '$1$', '$1.5$','',''], ['$k(x)$','','','','', '' , '','$2$','$6$'], ]
@vs5 Recopier et compléter le tableau ci-dessus à partir de la représentation graphique $\mathcal{C}_k$ de la fonction $k$.
On considère la fonction $f$ définie par $f:x\mapsto f(x) = (x-1)^2-4$ sur l'intervalle $I = [-2;5]$ et de représentation graphique $\mathcal{C}_f$. @vs5 On considère la fonction $g$ définie par $g:x\mapsto g(x) = 3$ sur l'intervalle $I = [-2;5]$ et de représentation graphique $\mathcal{C}_g$. @vs10
Utiliser la calculatrice pour obtenir les représentations graphiques $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ sur l'intervalle $I = [-2;5]$. Vérifier par rapport à l'image ci-dessus.
Repasser en rouge l'intervalle sur lequel les fonctions $f$ et $g$ sont définies.
Déterminer graphiquement le ou les antécédents de $-3$ par la fonction $f$.
Déterminer graphiquement le ou les images de $1$ et de $5$ par la fonction $f$.
Expliquer pourquoi la courbe $\mathcal{C}_g$ est une droite horizontale.
Expliquer pourquoi résoudre l'équation $f(x) = g(x)$ revient à déterminer les abscisses des points d'intersection des courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$.
Résoudre graphiquement $f(x) = 3$
Déterminer graphiquement les coordonnées des points d'intersection des courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$.
Résoudre graphiquement $f(x) \geqslant g(x)$. Repasser en vert ces solutions.
Résoudre graphiquement $f(x) \leqslant 0$. Repasser en bleu ces solutions.
On considère la fonction $f$ définie par $f:x\mapsto f(x) = x^3-6x^2-x+30$ sur l'intervalle $I = [-4;6]$ et de représentation graphique $\mathcal{C}_f$. @vs5
Utiliser la calculatrice pour obtenir la représentation graphique $\mathcal{C}_f$ sur l'intervalle $I = [-4;6]$. Vérifier par rapport à l'image ci-dessus.
Repasser en rouge l'intervalle sur lequel la fonction $f$ est définie.
Déterminer graphiquement le ou les antécédents de $-20$ par la fonction $f$.
Déterminer graphiquement le ou les images de $1$ et de $5$ par la fonction $f$.
La droite horizontale est la courbe représentative $\mathcal{C}_g$ d'une fonction $g$. Déterminer l'expression algébrique de cette fonction.
Résoudre graphiquement $f(x) = 10$. Expliquer précisément.
Déterminer graphiquement les coordonnées des points d'intersection des courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$.
Résoudre graphiquement $f(x) \leqslant g(x)$. Repasser en vert ces solutions.
Représentation graphique de fonctions
On considère la fonction $f$ définie par $f:x\mapsto f(x) = x^2+2x-3$ sur l'intervalle $I = [-6;3]$ et de représentation graphique $\mathcal{C}_f$. @vs5 On considère la fonction $g$ définie par $g:x\mapsto g(x) = 3 -2x -x^2$ sur l'intervalle $I = [-6;3]$ et de représentation graphique $\mathcal{C}_g$. @vs10
Utiliser la calculatrice pour obtenir les représentations graphiques $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ sur l'intervalle $I = [-6;3]$.
Déterminer graphiquement le ou les antécédents de $10$ par la fonction $f$.
Déterminer graphiquement le ou les images de $2$ et de $-2$ par la fonction $g$.
Expliquer pourquoi résoudre l'équation $f(x) = g(x)$ revient à déterminer les abscisses des points d'intersection des courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$.
Déterminer graphiquement les coordonnées des points d'intersection des courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$.
Résoudre graphiquement $f(x) \geqslant g(x)$.
Fonction g
Fonction complexe $g: x \mapsto \dfrac{1}{1-x^2}$
On considère la fonction $g$ définie par $g: x \mapsto \dfrac{1}{1-x^2}$
Démontrer que l'ensemble de définition de la fonction $g$ est $D_g = ]-\infty;-1[\cup ]-1;1[\cup]1;+\infty[ $.
En utilisant la calculatrice, construire le tableau de variations de la fonction $g$.
Indiquer si les affirmations, en justifiant précisément, sont vraies ou fausses :
a. @hs5 Le maximum de la fonction $g$ sur $]-1;1[$ vaut $1$.
b. @hs5 $g(-8) < g(-7.9)$.
c. @hs5 $g(2) < g(2.1)$.
d. @hs5 L'équation $g(x) = 2$ possède deux solutions.
e. @hs5 L'équation $g(x) = 1$ ne possède qu'une seule solution.
f. @hs5 L'équation $g(x) = -4$ possède trois solutions.
g. @hs5 L'équation $g(x) = 0.5$ possède deux solutions.
h. @hs5 Pour $x \in ]-\infty;-2]$, $g(x) \leqslant 0$.
i. @hs5 Pour $x \in ]-1;1[$, $g(x) > 0.3$.
j. @hs5 Pour $x \in ]3;+\infty[$, $g(x) > 0$.
On considère deux antécédents $a$ et $b$ tel que $0 < a \leqslant b < 1$. Démontrer que $(a-b) \leqslant 0$ et $(a+b) > 0$
Démontrer que $(1-a^2) > 0$. Aide : factoriser $(1-a^2)$ puis établir un tableau de signes (remarquer que $0 < a < 1$)
En s'inspirant de la question précédente, déterminer le signe de $(1-b^2)$.
Démontrer que $g(a) - g(b) = \dfrac{(a-b)(a+b)}{(1-a^2)(1-b^2)}$.
En déduire que $g$ est croissante sur $]0;1[$ et vérifier le tableau de variations.
On considère la fonction $m$ définie par $m : x \mapsto x^3 + 3x^2 -9x - 5$
Expliquer ce qu'est l'ensemble de définition $\mathcal{D}_m$ (de deux manières différentes).
Déterminer l'ensemble de définition $\mathcal{D}_m$ de la fonction $m$. Justifier.
Avec la calculatrice, déterminer le tableau de variations de la fonction $m$ sur $\mathcal{D}_m$.
Sans faire de calcul, expliquer pourquoi $m(-1097) < m(-509)$
Sans faire de calcul, expliquer pourquoi on ne peut pas déterminer l'ordre des images de $0$ et de $3$ par la fonction $m$.
On considère la fonction $f$ définie par $f : x \mapsto \dfrac{1}{x^2 - 4x + 3}$
Factoriser $x^2 - 4x + 3$ puis résoudre $x^2 - 4x + 3 = 0$.
En déduire l'ensemble de définition $\mathcal{D}_f$ de la fonction $f$.
Avec la calculatrice, déterminer le tableau de variations de la fonction $f$ sur $\mathcal{D}_f$.
Sans faire de calcul, expliquer pourquoi $f(2.01) > f(2.1)$
On considère la fonction $g$ définie par $g : x \mapsto \sqrt{x^2 + 3x - 40}$
Factoriser $x^2 + 3x - 40$ puis résoudre $x^2 + 3x - 40 \geqslant 0$.
En déduire l'ensemble de définition $\mathcal{D}_g$ de la fonction $g$.
Avec la calculatrice, déterminer le tableau de variations de la fonction $g$ sur $\mathcal{D}_g$.
Sans faire de calcul, expliquer pourquoi $g(6) < g(7)$
On considère la fonction $f$ définie par $f: x \mapsto \sqrt{6x-8} - x$.
Déterminer l'ensemble de définition de $f$.
Avec la calculatrice, déterminer le tableau de variations de $f$ sur $\mathcal{D}_f$.
Graphiquement, donner le maximum de $f$.
Graphiquement, résoudre l'équation $f(x) = 0$. Justifier.
Démontrer que $f(x) = 0$ $\ssi$ $x = \sqrt{6x-8}$.
Démontrer que $f(x) = 0$ $\ssi$ $x^2 - 6x+8 = 0$.
Factoriser $x^2 - 6x+8$.
En déduire la résolution par le calcul de $f(x) = 0$.
Sans faire aucun calcul, démontrer que $f(1.99) < f(2.01)$
Sans faire aucun calcul, démontrer que $f(59.8) < f(10)$
On considère la fonction $k$ définie par $k: x \mapsto \dfrac{1}{6}x+1$ de représentation graphique $\mathcal{C}_k$. @vs5 @vs5 On considère, de plus, la fonction $g : x \mapsto -\dfrac{2}{3}x-1$ de représentation graphique $\mathcal{C}_g$.
Déterminer le tableau de variations de $k$. Justifier.
Tracer $\mathcal{C}_k$ dans un repère. Justifier.
Déterminer le tableau de variations de $g$. Justifier.
Tracer $\mathcal{C}_g$ dans le même repère. Justifier.
Résoudre l'équation $k(x) = 0$. Vérifier graphiquement. Justifier.
Résoudre l'inéquation $g(x) \leqslant 0$. Vérifier graphiquement. Justifier.
Sans faire aucun calcul, déterminer l'ordre des images de $-1$ et de $2$ par la fonction $k$. Justifier.
Sans faire aucun calcul, déterminer l'ordre des images de $-5$ et de $-6$ par la fonction $g$. Justifier.
Démontrer que $\mathcal{C}_k$ et $\mathcal{C}_g$ sont sécantes en $H$.
Déterminer par le calcul les coordonnées de $H$. Vérifier graphiquement.
Déterminer par le calcul les abscisses des points de $\mathcal{C}_k$ situés au dessus de $\mathcal{C}_g$
On considère la fonction $k$ définie par $k: x \mapsto -2x^2-10x+4$ de représentation graphique $\mathcal{C}_k$. @vs5 On considère, de plus, la fonction $g : x \mapsto -2x-6$ de représentation graphique $\mathcal{C}_g$.
Est-ce que la fonction $k$ possède un maximum ou un minimum ? Si oui donner sa valeur. Justifier par le calcul.
En déduire le tableau de variations de $k$. Justifier.
Déterminer le tableau de variations de $g$. Justifier.
Dans un même repère tracer très précisément $\mathcal{C}_k$ et $\mathcal{C}_g$. (Pour $\mathcal{C}_k$ il faut au moins 7 points). Aucune justification n'est demandée.
Déterminer graphiquement les abscisses des points de $\mathcal{C}_k$ situés au dessus de $\mathcal{C}_g$. Justifier en mettant des couleurs sur le graphique.
Démontrer le résultat précédent par le calcul.
Sans faire aucun calcul, déterminer l'ordre des images de $7000$ et de $5000$ par la fonction $k$. Justifier.
Sans faire aucun calcul, déterminer l'ordre des images de $-9$ et de $-12$ par la fonction $k$. Justifier.
On considère la fonction $g : x \mapsto \sqrt{4-x^2} $. Soient deux antécédents $a$ et $b$ tels que $-2 < a \leqslant b \leqslant 0$. @vs5
Déterminer l'ensemble de définition $\mathcal{D}_g$ de la fonction $g$. Justifier
Démontrer que $g(x) = g(-x)$ pour $ x \in \mathcal{D}_g$; on dit que la fonction $g$ est paire.
Avec la calculatrice, tracer le tableau de variations de $g$.
Démontrer $\sqrt{4-x^2} \leqslant 2$. En déduire l'extremum de la fonction $g$. Préciser en quelle abscisse cet extremum est atteint.
Factoriser $g(a) - g(b)$. En déduire, avec précision, que la fonction $g$ est croissante sur $]-2;0]$.
On considère les fonctions $f$ et $g$ définies par $f(x) = 2x+8$ et $g : x \mapsto 8 -2x - x^2$ de représentation graphique $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$. @vs5
Déterminer l'ensemble de définition de $f$ et $g$.
Démontrer que $g(x) \leqslant 9$ pour tout $x \in \R$. Que peut-on en déduire ?
Avec la calculatrice, tracer le tableau de variations de $g$.
En utilisant un tableau de valeurs de $g(x)$ (avec au moins $6$ antécédents), tracer $\mathcal{C}_g$ dans un repère adapté.
Dans ce même repère, tracer $\mathcal{C}_f$. Justifier très précisément cette construction.
Factoriser $g(x)$. En déduire les solutions de l'équation $g(x) = 0$. Justifier précisément. Comment peut-on retrouver graphiquement ces solutions ?
Déterminer les coordonnées des points d'intersection $E$ et $H$ de $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$. Justifier précisément. Vérifier graphiquement.
Déterminer l'ensemble des points quand $\mathcal{C}_f$ est en dessous de $\mathcal{C}_g$.