2d - A4 - Variation d'une fonction
On considère la fonction $f$ définie par $f:x\mapsto f(x) = x^3 - 4x$ sur l'intervalle $I = [-3;3]$ et de représentation graphique $\mathcal{C}_f$. @vs5 On considère la fonction $g$ définie par $g:x\mapsto g(x) = -2 + x^2$ sur l'intervalle $I = [-3;3]$ et de représentation graphique $\mathcal{C}_g$. @vs10
Utiliser la calculatrice pour obtenir les représentations graphiques $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ sur l'intervalle $I = [-3;3]$.
Déterminer graphiquement le ou les antécédents de $2$ par la fonction $f$.
Déterminer graphiquement l'image de $-1$ et de $0$ par la fonction $g$.
Expliquer pourquoi résoudre l'équation $f(x) = g(x)$ revient à déterminer les abscisses des points d'intersection des courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$. Les déterminer.
Déterminer graphiquement les coordonnées des points d'intersection des courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$.
Résoudre graphiquement $f(x) \geqslant g(x)$.
Construire le tableau de variations de la fonction $f$
Construire le tableau de variations de la fonction $g$
On considère la fonction $f$ définie par $f:x\mapsto f(x) = -x^3 + 2x^2 + 8x$ sur l'intervalle $I = [-5;5]$ et de représentation graphique $\mathcal{C}_f$.
Utiliser la calculatrice pour obtenir la représentation graphique $\mathcal{C}_f$ sur l'intervalle $I = [-5;5]$.
Déterminer graphiquement le ou les antécédents de $5$ par la fonction $f$.
Déterminer graphiquement l'image de $-4$ et de $3$ par la fonction $f$.
Résoudre graphiquement $f(x) = 0$. Justifier précisément.
Résoudre graphiquement $f(x) \geqslant 0$. Justifier précisément.
Construire le tableau de variations de la fonction $f$.
Démontrer que $f(x) = x(4-x)(x+2)$
Résoudre par le calcul $f(x) \geqslant 0$ sur l'intervalle $I = [-5;5]$.
Tableau de variation de la fonction $g : x \mapsto (x+2)^2 + 4 $
On considère la fonction $g$ définie par $g : x \mapsto (x+2)^2 + 4 $ et sur $[-8;4]$.
À l'aide de la calculatrice (tracer la représentation graphique de la fonction $g$ en utilisant des unités adaptées sur les axes), établir le tableau de variations de $g$ sur $[-8;4]$.
En utilisant la calculatrice, résoudre $g(x) = 20$.
Retrouver le résultat de la question précédente par le calcul.
Sans faire aucun calcul, expliquer pourquoi $g(-3) > g(-2.99)$.
Sans faire aucun calcul, expliquer pourquoi $g(2) < g(2.1)$.
Tableau de variations d'une fonction
On considère la fonction $f$ définie sur $[-5;10]$ et dont le tableau de variations est ci-contre. Répondre par Vrai ou Faux aux affirmations suivantes en justifiant : @vs5 --b $f(-4) > f(-3)$ @vs10 --b $f(x) = 6$ a 2 solutions @vs10 --b $f(-0.1) > f(0.1)$ @vs10 --b $f(x) = 11$ a 2 solutions
Fonction $f : x \mapsto \dfrac{x^2-16}{x^2-4}$
On considère la fonction $f$ définie par $f : x \mapsto \dfrac{x^2-16}{x^2-4}$.
Déterminer l'ensemble de définition $\mathcal{D}_f$ de la fonction $f$. Justifier
Démontrer que $f$ est paire.
Avec la calculatrice, établir le tableau de variations de la fonction $f$.
Résoudre graphiquement $f(x) \geqslant 0$. Justifier.
Résoudre par le calcul $f(x) \geqslant 0$.
Sans faire aucun calcul, démontrer que $f(67) > f(3)$
Sans faire aucun calcul, démontrer que $f(-5) < f(-7)$
Fonction $g : x \mapsto \dfrac{x^2-2}{x^2+4x+5}$
On considère la fonction $g$ définie par $g : x \mapsto \dfrac{x^2-2}{x^2+4x+5}$.
Déterminer l'ensemble de définition $\mathcal{D}_g$ de la fonction $g$. Justifier
Avec la calculatrice, établir le tableau de variations de la fonction $g$.
Résoudre $g(x) = 0$
Résoudre graphiquement $g(x) < 0$. Justifier.
Résoudre par le calcul $g(x) < 0$.
Sans faire aucun calcul, démontrer que $g(1) < g(10)$
Sans faire aucun calcul, démontrer que $g(-2) > g(-1)$
Fonction $m : x \mapsto \sqrt{8-2x - x^2}$
On considère la fonction $m$ définie par $m : x \mapsto \sqrt{8-2x - x^2}$.
Déterminer l'ensemble de définition $\mathcal{D}_m$ de la fonction $m$. Justifier
Avec la calculatrice, établir le tableau de variations de la fonction $m$.
Résoudre graphiquement $m(x) \leqslant \sqrt{5}$. Justifier.
Résoudre par le calcul $m(x) \leqslant \sqrt{5}$.
Sans faire aucun calcul, démontrer que $m(-3) < m(-2)$
Sans faire aucun calcul, démontrer que $m(0) > m(1)$
On considère la fonction $k$ définie par $k: x \mapsto 2x^2-4x-30$ de représentation graphique $\mathcal{C}_k$. @vs5 On considère, de plus, la fonction $g : x \mapsto -2x^2+8x+10$ de représentation graphique $\mathcal{C}_g$.
Est-ce que la fonction $k$ possède un maximum ou un minimum ? Si oui donner sa valeur. Justifier par le calcul.
En déduire le tableau de variations de $k$. Justifier.
Est-ce que la fonction $g$ possède un maximum ou un minimum ? Si oui donner sa valeur. Justifier par le calcul.
En déduire le tableau de variations de $g$. Justifier.
Dans un même repère tracer très précisément $\mathcal{C}_k$ et $\mathcal{C}_g$. (il faut au moins 7 points par courbe). Aucune justification n'est demandée. (On pourra prendre 1 cm pour 4 unités sur l'axe des ordonnées et placer l'origine du repère au centre de la feuille.)
Démontrer que $g(x) \geqslant k(x)$ $\ssi$ $-4x^2+12x+40 \geqslant 0$. On pose $f(x) = -4x^2+12x+40$
Factoriser $f(x)$ puis résoudre $f(x) \geqslant 0$ en faisant un tableau de signes.
Retrouver, graphiquement, le résultat précédent. Expliquer en mettant des couleurs sur le graphique.